Bestimmen Sie fünf Primitivwurzeln modulo 29.

Question

Hallo,

verstehe diese Aufgaben nicht. Könnte mir jemand helfen ?

1. Bestimmen Sie fünf Primitivwurzeln modulo 29.
2. Wie viele Primitivwurzeln gibt es modulo 54?

vielen Dank

Answer 1

1. Prüfe ob 0 eine Primitivwurzel modulo 29 ist.

Prüfe ob 1 eine Primitivwurzel modulo 29 ist.

Prüfe ob 2 eine Primitivwurzel modulo 29 ist.

...

Prüfe ob 28 eine Primitivwurzel modulo 29 ist.

2. Ebenso.

Comments

kannst du mir das ausführlicher erklären ?

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Was verstehst du denn konkret nicht? Du weißt was eine Primitivwurzel ist

Hier ein Rechner, der dir eine gewünschte Anzahl an Primitivwurzeln ausgeben kann.

https://services.informatik.hs-mannheim.de/kryptolern/primitive_wurz…

Answer 2

Zu 1.:

Eine Primitivwurzel mod 29 ist ein Erzeuger der multiplikativen

Gruppe $\mathbb{F}_{29}^*$, die aus 28 Elementen besteht.

Bereits mit $2$ haben wir einen Glückstreffer, da $ord(2)=28$ ist.

Man berechne einfach die Potenzen $2^k$ mod 29.

Wenn man in einer zyklischen Gruppe $G$ ein erzeugendes

Element $r$ gefunden hat, so ist auch $r^m$ ein

erzeugendes Element von $G$, wenn ggT($m,$,ord($G))=1$ ist.

D.h. $2^m$ ist Primitivwurzel mod 29, wenn $m$ teilerfremd

zu 28 ist. Das liefert insgesamt $\varphi(28)=12$ verschiedene

Primitivwurzeln.

Comments

Text erkannt:

modolo $29 \bmod / 29)$

Müsste man so vorgehen?

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Im Prinzip: ja. Du hast aber wohl Rechenfehler gemacht.

Ich habe $2^8\equiv 24$

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muss ich danach noch was hinzufügen

und wie schreibe ich dann das ergbniss auf ?

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Wenn du deine Rechenfehler beseitigt hast,

solltest du jetzt haben:

$2^n\not \equiv 1$ für $n<28$ und damit ist

$n=28$ der kleinste Exponent $n\geq 1$ ,

für den $2^n\equiv 1$ mod $29$ gilt:

$2$ ist also Primitivwurzel mod $29$.

Ich schrieb

Wenn man in einer zyklischen Gruppe $G$ ein erzeugendesElement $r$ gefunden hat, so ist auch $r^m$ einerzeugendes Element von $G$, wenn ggT($m,$,ord($G))=1$ ist.D.h. $2^m$ ist Primitivwurzel mod 29, wenn $m$ teilerfremdzu 28 ist.

In unserem Falle ist ord($G$)=28 ...

Damit weißt du, dass $2^3,\; 2^5,\; \cdots$ ebenfalls Primitivwurzeln

mod $29$ sind.

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Also wären meine Ergebnisse

2³, 2⁵, 2⁶, 2⁸, 2⁹, 2¹⁰, 2¹¹, 2¹², 2¹³, 2¹⁵.... 2²⁸

also hätte ich 23 Primitivwurzeln Mod(29)

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Nein. 6 und 28 sind doch nicht teilerfremd.

9 und 28 sind teilerfremd, aber 10 und 28 wieder nicht.

Hast du meinen Text nicht gelesen ?

Ich habe doch geschrieben, dass es 12 verschiedene

Primitivwurzeln gibt, da die prime Restklassengruppe mod 28

12 Elemente besitzt.

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So wie ich das jetzt verstanden wäre es:

2³, 2⁵, 2⁷, 2⁹, 2¹¹, 2¹³, 2¹⁵, 2¹⁷, 2¹⁹, 2²³, 2²⁵, 2²⁷.

Was ich aber dann nicht verstehe ist, dass es Tabellen zu Modulo 29 gibt mit folgende Primitivwurzel: 2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26, 27.

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Ja. 10 ist eine Primitivwurzel mod 29; denn

$10\equiv 2^{23}$ und 23 und 28 sind teilerfermd.

Du scheinst die Potenzen mit den Exponenten zu

verwechseln.

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So wie ich das jetzt verstanden wäre es:

Du solltest die Potenzen natürlich noch ausrechnen. Dabei rechnen wir alles modulo 29.

2³ = 8
2⁵ = 3
2⁹ = 19
2¹¹ = 18
2¹³ = 14
2¹⁵ = 27
2¹⁷ = 21
2¹⁹ = 26
2²³ = 10
2²⁵ = 11
2²⁷ = 15

Und dann vergleiche die Liste mit den Primitivwurzeln von 29.