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Es geht um ein Maximierungsproblem, für das ich den Lagrange-Ansatz verwenden soll.


Max! U(c0,c1)=√c0 + √c1

unter der Nebenbedingung: c0 + c1/(1,1)=120


Die Grenzrate der Substitution ist gegeben durch 1,1, wie dies zustande kommt ist mir allerdings auch nicht klar.


Die Lösung der Aufgabe habe ich bereits, allerdings verstehe ich nicht wie man auf das Ergebnis kommt.

Der Prof. hat leider einfach nur das Ergebnis hingeschrieben, ohne es weiter zu erklären und nun stehe ich auf dem Schlauch.

Ich würde mich sehr über eine ausführliche Erklärung der Rechnung und Lösung dieser Aufgabe freuen! Vielen Dank im Voraus!

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Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

maximiert werden soll die Funktion U(c0,c1)=c0+c1maxU(c_0,c_1) = \sqrt{c_0} + \sqrt{c_1} \to \maxunter der Nebenbedingung c0+1011c1120=0c_0 + \frac{10}{11}c_1 - 120 = 0Dazu stellt man zunächst die Lagrange-Funktion auf:L(c0,c1,λ)=c0+c1+λ(c0+1011c1120)L(c_0,c_1,\lambda) = \sqrt{c_0} + \sqrt{c_1} + \lambda\left(c_0 + \frac{10}{11}c_1 - 120\right)Und leitet nach den beiden Parametern c0c_0 und c1c_1 ab, was das gleiche ist, wie die Berechnung des Gradienten gradL=(12c012c1)+λ(11011)=0\operatorname{grad}L = \begin{pmatrix} \frac{1}{2\sqrt{c_0}} \\\frac{1}{2\sqrt{c_1}} \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 1\\\frac{10}{11} \end{pmatrix} = \vec{0}Diese Gleichung geht nur auf, wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind. Daraus folgt:101112c0=12c11110c0=c1c1=(1110)2c0\begin{aligned} \frac{10}{11}\cdot \frac{1}{2\sqrt{c_0}} &= \frac{1}{2\sqrt{c_1}} \\ \frac{11}{10} \sqrt{c_0} &= \sqrt{c_1}\\ c_1&= \left(\frac{11}{10}\right)^2c_0 \end{aligned}Einsetzen in die Nebenbedingung gibt:    c0+1011(1110)2c0=120c0+1110c0=1202110c0=120c0=1201021=4007    c1=1124001027=4847\begin{aligned} \implies c_0 + \frac{10}{11}\cdot\left(\frac{11}{10}\right)^2c_0&= 120\\ c_0 + \frac{11}{10} c_0 &= 120 \\ \frac{21}{10} c_0 &= 120 \\ c_0&= \frac{120 \cdot 10}{21} = \frac{400}{7}\\ \implies c_1 &= \frac{11^2 \cdot 400}{10^2 \cdot 7} = \frac{484}{7}\\ \end{aligned}Hier habe ich versucht Dir das graphisch zu veranschaulichen:


Auf der Abszisse liegt c0c_0 (waagerecht) und auf der Ordinate c1c_1 (senkrecht). Den Graphen der Nebenbedingung habe ich rot eingezeichnet. Die blauen Linen sind Höhenlinien der Funktion UU. D.h. Jede blaue Linie gibt den Ort aller Punkte an, auf denen UU immer den gleichen Wert annimmt. UU wächst nach oben rechts.

Im Punkt PP wird jeweils der Gradient von UU (blau) und der der Nebenbedingung (rot) angezeigt. Dort wo beide zusammen fallen, also linear abhängig sind, habe ich die grün gestrichelte Gerade eingezeichnet. Dies ist der Graph der Funktionc1=(1110)2c0c_1= \left(\frac{11}{10}\right)^2c_0(s.o.). Ziehe bitte mit der Maus den Punkt PP auf diese Gerade.

Wo diese den Graphen der Nebenbedingung schneidet liegt das gesuchte Optimum.

Gruß Werner

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Graphik hinzu gefügt.

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MaximiereMaximiere:  U(c0,c1)=c0+c1U(c_0,c_1) = \sqrt{c_0} + \sqrt{c_1}       NBNB: c0+c11,1=120 c_0 + \frac{c_1}{1,1}=120

U(c1)=120c11,1+c1U(c_1) = \sqrt{120-\frac{c_1}{1,1}} + \sqrt{c_1}  

dU(c1)dc1=11,12120c11,1+12c1\frac{d U(c_1)}{d c_1} =\frac{-\frac{1}{1,1}}{2\sqrt{120-\frac{c_1}{1,1}}}+ \frac{1}{2\sqrt{c_1} }

11,12120c11,1+12c1=0\frac{-\frac{1}{1,1}}{2\sqrt{120-\frac{c_1}{1,1}}}+ \frac{1}{2\sqrt{c_1} }=0

11,1120c11,1=1c12\frac{\frac{1}{1,1}}{\sqrt{120-\frac{c_1}{1,1}}} = \frac{1}{\sqrt{c_1} } |^{2}

(11,1)2=1c1(\frac{1}{1,1})^{2}= \frac{1}{{c_1} }

100121=1c1\frac{100}{121}= \frac{1}{{c_1} }

c1=1,21c_1=1,21

c0+1,211,1=120 c_0 + \frac{1,21}{1,1}=120

c0118,9 c_0 ≈118,9

U=118,9+1,2112,0041U = \sqrt{118,9 } + \sqrt{1,21}≈12,0041

Da ist irgendwo ein Fehler drin.

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