Darstellende Matrix bestimmen aus Jordanbasis

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

$B=\left\{\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right\}$ ist eine JB und $M_{B}^{B}(f)=\left(\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2\end{array}\right)$.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand sagen wie ich auf die Matrix rechts komme?

Comments

Du stellst besser die komplette Aufgabe ein!

Wieso sollte man "auf ewtas kommen" müssen was gegeben ist?

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Ich will doch nur aus dieser die Matrix rechts machen. Das ist ne Lösung. Ich verstehe nur nicht ganz wie man auf die Matrix rechts kommt. DIe Aufgabe war einfach eine Jordanbasis zu bestimmen.

Text erkannt:

Der Endomorphismus $f$ des $\mathbb{R}^{4}$ sei gegeben durch $M_{E}^{E}(f)=\left(\begin{array}{rrrr}-2 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, wobei $E$ die Standardbasis des $\mathbb{R}^{4}$ ist. Bestimmen Sie eine Jordanbasis $B$ des $\mathbb{R}^{4}$ zu $f$, sowie die zugehörige Matrix $M_{B}^{B}(f)$

Answer 1

Nun, um zu einer Lösung zu kommen sollte man schon die Aufgabe kennen, oder...

Bestimme die Eigenwerte und Hauptvektoren von

$M_{E}^{E} \left(f\right)$ die Eigenwerte stehen in der Diagonalen von $M_{B}^{B}\left(f\right)$  und die Hauptvektoren sind die Basis B ich erhalte mit

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/cbrraju7

$\small EV \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}2&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\end{array}\right)$

λ=0

Suche HV ∈ Ker (A-λE)² mit dim Ker (A-λE)² = n ∧ HV ¬∈ Ker (A-λE)

 $\to \small \left(\begin{array}{rrrr}\frac{1}{2} \; x4&x2&x3&x4\\\end{array}\right)$

$\small HVKandidaten1u \, := \, \left(\begin{array}{rrr}0&0&\frac{1}{2}\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)$

$\small KernHV1 \, := \, \left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&0&\frac{1}{2}\\0&0&0\\0&0&0\\\end{array}\right)$

Aus der 3.Spalte nehmen wir die HV und passende Eigenvektoren und erhalten die Jordanbasis

$\small B\, := \, \left(\begin{array}{rrrr}0&\frac{1}{2}&0&2\\\frac{1}{2}&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\\end{array}\right)$

$\small B^{-1} M_{E}^{E} B = M_{B}^{B}\left(f\right)$

2*HV ergibt auch die Jordanbasis Deiner Lösung