Berechne die Fläche des Dreiecks ABC.

Question

ABC sei ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei B. D liege auf CB. Das Dreieck ADC habe den Flächeninhalt 42 cm². |\( \overline{AD} \)|=15 cm, |\( \overline{AC} \)|=20 cm. Berechne die Fläche des Dreiecks ABC.

Comments

Ich komme auf 96cm²

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Das ist richtig. Wie hat du das herausgefunden?

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Brute Force, drei Gleichungen mit drei Unbekannten, dann bi-quadratische Gleichung lösen, eine Lösung paßt.

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Willst  du mit 'Brute Force' andeuten, dass du ein digitales Werkzeug eingesetzt hast?

Das Reduzieren von drei Gleichungen mit drei Unbekannten auf eine biquadratische Gleichung würde ich nicht unter 'Brute Force' einordnen.

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Nein, aber vielleicht gibt es elegantere Lösungen. Das war doch nur stumpf rechnen…

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Das Reduzieren von drei Gleichungen mit drei Unbekannten auf eine biquadratische Gleichung erfordert keinesfalls 'stumpfes Rechnen' sondern Überblick und Geschicklichkeit. Aber ich kenne deinen Lösungsweg nicht, der ja möglicherweise 'stumpf rechnen' bedeutete.

Answer 1

Mit \(a=\overline{AD}=15,\,b=\overline{AC}=20,\,x=\overline{AB},\,y=\overline{BD},\,z=\overline{DC}\) gilt

\((1)\quad 16F^2_{ADC}=4a^2b^2-\big(a^2+b^2-z^2\big)^2.\quad\textsf{(nach Heron)}\)
Daraus folgt \(z=7\).

\((2)\quad x^2+y^2=a^2\) und \(x^2+(y+z)^2=b^2.\quad\textsf{(nach Pythagoras)}\)
Daraius folgt \(a^2-y^2=b^2-(y+z)^2\) und daraus \(y=9\) und schließlich \(x=12\).

Die gesuchte Fläche berechnet sich nun zu \(F_{ABC}=\frac12x(y+z)=96.\)