Minimalitätseigenschaft des kubischen interpolierenden Splines

Question

Aufgabe:

a) Zu den Stützpunkten $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ für $i=0,1, \ldots, n$ mit $x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}$ und $y_{0}=y_{n}$ sei $s$ der kubische interpolierende Spline mit periodischen Randbedingungen. Beweisen Sie, dass für die $k$-ten Ableitungen gilt:

$\int \limits_{x_{0}}^{x_{n}} s^{(k)}(x) \mathrm{d} x=0$
für alle $k \geq 1$. Machen Sie dazu Fallunterscheidungen.

b) Sei $q$ der lineare interpolierende Spline (Grad 1) zu den Stützpunkten $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ für $i=0,1, \ldots, n$ mit $x_{i} \neq x_{j}$ falls $i \neq j$. Begründen Sie, dass die Gesamtkrümmung von $q$ null ist. Wieso steht dies nicht im Widerspruch zur Minimalitätseigenschaft des kubischen interpolierenden Splines (Grad 3) bezüglich der Gesamtkrümmung?

c) Sei $x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}$ und $S_{k}\left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right)$ die Menge aller Splines vom Grad $k$.

i) Geben Sie die Dimension des Vektorraums $S_{k}\left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right)$ an.

ii) Begründen Sie, dass $S_{k}\left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right)$ keine Teilmenge von $S_{k+1}\left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right)$ ist.
iii) Bestimmen bzw. charkterisieren Sie die Schnittmenge
$S_{2}\left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right) \cap S_{3}\left(x_{0}, \ldots, x_{n}\right) .$

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Comments

Hallo Elena

3 Aufgaben, ganz ohne eigene Ideen? Irgendwie solltest du zeigen, dass du dich mit eurem Vorlesungsstoff beschäftigt hast und wenigstens Ansätze versuchen,

Wir wissen ja über den Inhalt deiner Vorlesung und damit dein Vorwissen nichts, ausser dass du dich wohl mit Näherungsrechnungen beschäftigst.

lul

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Danke für deine Antwort..

keine Ahnung wie ich mit der Lösung anfangen soll.. Könntest du mir bitte Tipps geben?

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Es bleibt, dass wir nichts über deine Vorlesung und damit Kenntnisse wissen. Also frag gezielter: etwa zu dem Thema hatten wir.....und ....