Finde ein Polynom 4. Grades mit n reellen Lösungen

Question

Aufgabe:

Finde ein Polynom 4 Grades...

Problem/Ansatz:

Wie geht man bei diesen Aufgaben konkret vor? z.B: "Finde ein Polynom 4. Grades dass nur die Lösungen x=-1 und x=3 besitzt" . Die Lösung ist nicht wichtig, da dies nur ein Beispiel ist. Kann auch allgemein bezogen sein. Video Links etc. sind auch gerne willkommen!

Und weil dies ein 1+1 Gratis Angebot ist, kannst du auch bei der folgenden Frage zugreifen (Nur solange der Vorrat reicht xD): Gib eine Gleichung vom Grad 3 oder 4 an, die genau 1/2/3/4 reelle oder nicht reelle Lösungen besitzt. Brauche nicht für jedes ein Beispiel sondern nur eine Version erklärt.

Hoffe jemand kann mit dem Quatsch was anfangen.

Lg

Answer 1

Finde ein Polynom 4 Grades dass nur die Lösungen x=-1 und x=3 besitzt

Ein Polynom selber kann keine Lösungen besitzen. Ein Polynom ist ein Term!

Nullstellen des Polynoms

(x + 1)²·(x - 3)²
= x⁴ - 4·x³ - 2·x² + 12·x + 9

oder Nullstellen des Polynoms

(x + 1)³·(x - 3)
= x⁴ - 6·x² - 8·x - 3

oder Nullstellen des Polynoms

(x + 1)·(x - 3)·(x² + 1)
= x⁴ - 2·x³ - 2·x² - 2·x - 3

Jetzt überlege mal, warum ich die Polynome so aufgeschrieben habe. Und kannst du das evtl. erklären?

Comments

Alle Polynome besitzen die Nullstelle -1 und 3. Aber der einzige Unterschied ist, dass sie in verschiedene Linearfaktoren unterteilt sind bzw die Hochzahlen anders verteilt sind. Wenn man nach dem ausmultiplizieren die Hochzahlen dann noch "auflöst" also zb. -2x³ wird zu -6x² dann hat man die selbe Lösung.

Also verschiedene schreibweisen=gleiches Ergebnis. Kann man das so interpretieren?

Lg

Answer 2

Ein Polynom n-ten Grades soll die k Nullstellen x₁, x₂, x₃, ..., x_k haben. Dann kann es lauten   (x-x₁)^e1·(x-x₂)^e2·(x-x₃)^e3·...·(x-x_k)^ek mit e1+e2+e3+...+ek=n.

Answer 3

Hallo

mit Lösungen  meinst du Nullstellen, ein Polynom hat Werte , keine "Lösungen".

Nullstellen : a,b,c dann  p(x)=A*(x-a)*(x-b)*(x-c) Polynom 3, ten grades mit nur 2 Nullstellen, dann muss eine doppelt sein

also  Nst a,b  p(x)=A(x-a)²*(x-b)

Gruß lul

Answer 4

Wähle die Nullstellenform einer Parabel 4. Grades.

Beispiele für Parabeln mit Grad 2:

2 Lösungen:

\( f(x)=(x-3)*(x-4)\)

1 Lösung:

\( g(x)=(x-3)^2\)

keine Lösung in ℝ:

\(h(x)=(x-i)*(x+i)=x^2-i^2=x^2+1\)