Besondere Werte für trigonometrische Funktionen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie und tragen Sie die Antworten in die Lücken ein.

arccot(−1/√3) =

arctan(cot(4)) =

Problem/Ansatz:

Comments

arccot(−1/√3) =x

−1/√3 =cot(x)

tan(x) = -√3

sin(x) / cos(x) = -√3

sin(x) / cos(x) = - ½√3 / ½

sin(60°)=½√3   ;   cos(60°)=½

sin(-60°)=-½√3   ;    cos(-60°)=½

60° → π/3

x=-⅓π

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arctan(cot(4)) kann ich nicht im Kopf lösen. Daher gucke ich mir f(x) = arctan(cot(x)) (schwarze "Kurve") an.

Offensichtlich ist das eine "Sägezahn-Funktion" mit den y-Achsenabschnitten (2k+1)•π/2 und den Steigungen -1. (Warum das so ist, versteht man mit Tschakabumbas Antwort. )

Der gesuchte Wert ist -4 + 1,5π (In der Abbildung blau dargestellt.)

:-)

Answer 1

Fiona: Sicher weißt du, dass arc-Winkelfunktion die Umkehrung der jeweiligen Winkelfunktion ist. Wenn du jetzt noch die Definitionen der Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck kennst, helfen dir diese Skizzen

beim Ausfüllen dieser Tabelle:

	30°	45°	60°
sin
cos
tan
cot

Dann kannst du Aufgaben dieser Art meistens lösen.

Answer 2

Aloha :)

zu a) In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Cotangens das Verhältnis von Ankathete zu Gegenkathete. Wir stellen uns also ein rechtwinkliges Dreieck mit der Ankathete $a=1$ und der Gegenkathete $b=\sqrt3$ vor. Nach Pythagoras gilt dann für die Hypotenuse:$$c^2=a^2+b^2=1^2+(\sqrt3)^2=1+3=4\implies c=2$$Das Verhältnis von Ankathete $a=1$ zu Hypotenuse $c=2$ ist der Cosinus. Und den Cosinus von $\frac12$ kennt man auswendig:$$\cos\alpha=\frac12\implies\alpha=60^\circ=\frac16\cdot360^\circ\equiv\frac16\cdot2\pi=\frac\pi3$$Wenn wir noch das Minuszeichen im Argument der Arcus-Cotangens-Funktion berücksichtigen, erhalten wir:$$\pink{\operatorname{arccot}\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)=-\frac\pi3}$$

zu b) Die Co-Funktionen haben ihren Namen daher, dass man im rechtwinkligen Dreieck zum complementären Winkel übergeht, das ist der andere Nicht-90-Grad-Winkel:$$\cos(x)=\sin\left(\frac\pi2-x\right)$$$$\sin(x)=\cos\left(\frac\pi2-x\right)$$$$\tan(x)=\cot\left(\frac\pi2-x\right)$$$$\cot(x)=\tan\left(\frac\pi2-x\right)$$

Damit ist die Aufgabe gelöst:$$\arctan\left(\cot(4)\right)=\arctan\left(\tan\left(\frac\pi2-4\right)\right)=\frac\pi2-4+\mathbb Z\cdot\pi$$Der Term $\mathbb Z\cdot\pi$ kommt daher, dass die Tangens-Funktion $\pi$-periodisch ist. Per Definition hat man sich darauf geeinigt, dass der Rückgabewert der Arcus-Tangens-Funktion im Intervall $(-\frac\pi2;\frac\pi2)$ liegt. Daher lautet das dadurch eindeutig gewordene Ergebnis:$$\pink{\arctan(\cot(4))=\frac{3\pi}{2}-4}$$

Comments

die Arcus-Tangens-Funktion $\pi$-periodisch

Flüchtigkeitsfehler sind auch Fehler.

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Danke dir fürs Aufpassen und Bescheidsagen ;)

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Flüchtigkeitsfehler sind auch Fehler.

Gut, dass es Euer Gestrengen gibt.

In severitate vestra semper veritas - doleo.

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Hallo,

jetzt ist mir auch klar, wieso eine Sägezahn-Funktion vorliegt.

:-)

Answer 3

Hallo,

benutze doch dafür den Taschenrechner,

bei einigen Rechnern cot ^-1 (-1/ $\sqrt{3}$  ),

                                    tan ^-1  ( cot(4))  

Comments

benutze doch dafür den Taschenrechner,

Das wäre der Offenbarungseid.

Zu meiner Schulzeit wusste man noch in Klasse 10, dass cot(x) = 1 / tan(x) ist.

Man kannte auch denjenigen Winkel x, für den cot(x)= 1/√3 ist (das ist nämlich jener Winkel, für den tan(x)=√3 gilt.

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Man kannte auch denjenigen Winkel x, für den cot(x)= 1/√3

Das bestreite ich:

Man lernte die sin und cos-Werte für 30°,60°, 90°, weil die gut zu merken waren:

1/2*√1, 1/2*√2, 1/2*√3

tan und cot-Werte mussten nicht gewusst werden.

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... mussten nicht gewusst werden.

Kein Mensch muss müssen. (Lessing, Nathan der Weise)

Der Mensch ist das Wesen, welches will. (Schiller, Über das Erhabene)

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sin und cos-Werte für 30°,60°, 90°, weil die gut zu merken waren:

1/2*√1, 1/2*√2, 1/2*√3

Noch besser wäre es, die richtigen Werte anzugeben.

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Noch besser wäre es, die richtigen Werte anzugeben.

Danke, ich war unkonzentriert.

Korrektur: 30°, 45°, 60°.