Bestimmen sie die Wirkungsdauer des Medikaments.

Question

Aufgabe: Die Konzentration des Wirkstoffs eines Medikaments im Blut eines Patienten kann näherungsweise durch eine Funktion f mit f(t)=3·t·e^-0.25·t beschrieben werden. Dabei wird t in Stunden seit der ersten Einnahme und f(t) in mg/l gemessen.

a) Beschreiben sie den zeitlichen Verlauf der Konzentration.   Nach welcher Zeit erreicht die Konzentration ihren höchsten Wert? Wie groß ist die maximale Konzentration?

b) Der Wirkstoff ist nur wirksam, solange seine Konzentration im Blut mindestens 2 mg/l beträgt. Bestimmen sie die Wirkungsdauer des Medikaments.

Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am stärksten abnimmt. Ab diesem Zeitpunkt nimmt die Konzentration des Wirkstoffs linear ab. Die lineare Abnahme wird durch die Tangente an den Graphen von f in diesem Zeitpunkt beschrieben. Wann ist nach diesem Modell der Wirkstoff vollständig verbraucht?

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich habe ehrlich keine Ahnung :/

Comments

Willst Du das wissen was im Titel steht oder das was in der Aufgabe steht?

Answer 1

a)Nach welcher Zeit erreicht die Konzentration ihren höchsten Wert? Wie groß ist die maximale Konzentration?

$f(t)=3*t*e^{-0,35t}$

$f´(t)=3*e^{-0,35t}+3*t*e^{-0,35t}*(-0,35)$

$3*e^{-0,35t}+3*t*e^{-0,35t}*(-0,35)=0$

$e^{-0,35t}*(1-0,35t)=0$

1.) $e^{-0,35t}≠0$

2.) $t=\frac{1}{0,35}≈2,857h$

$f(\frac{1}{0,35})=\frac{3}{0,35}*e^{-\frac{0,35}{0,35}}≈3,153\frac{mg}{l}$

Comments

Ich glaube du hast die Funktion falsch abgeschrieben oder?

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Das stimmt! Der Fehler ist mir unterlaufen.

Answer 2

a) f '(t) =0

tmax =

f(tmax) =

b) f(t) = 2

Berechnen Sie den Zeitpunkt, den dem die Konzentration am stärksten abnimmt.

f ''(t) = 0

Die lineare Abnahme wird durch die Tangente an den Graphen von f an diesem Zeitpunkt beschrieben.

t1 sei dieser Zeitpunkt.

Tangentengleichung g(t):

g(t) = (t-t1) *f '(t1) +f(t1)

Answer 3

a) Beschreiben Sie den zeitlichen Verlauf der Konzentration. Nach welcher Zeit erreicht die Konzentration ihren höchsten Wert? Wie groß ist die maximale Konzentration?

f'(t) = 3/4·e^(- t/4)·(4 - t) = 0 → t = 4 h

f(4) = 12·e^(-1) = 4.415 mg/l

b) Der Wirkstoff ist nur wirksam, solange seine Konzentration im Blut mindestens 2 mg/l beträgt. Bestimmen Sie die Wirkungsdauer des Medikaments.

f(t) = 3·t·e^(- 0.25·t) = 2 → t = 0.82 h oder t = 11.33 h → 10.51 h also ca. 10 1/2 h

c) Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die Konzentration am stärksten abnimmt. Ab diesem Zeitpunkt nimmt die Konzentration des Wirkstoffs linear ab. Die lineare Abnahme wird durch die Tangente an den Graphen von f an diesem Zeitpunkt beschrieben. Wann ist nach diesem Modell der Wirkstoff vollständig verbraucht?

f''(t) = 3/16·e^(- t/4)·(t - 8) = 0 → t = 8 h

g(t) = f'(8)·(t - 8) + f(8) = 3·e^(-2)·(16 - t) = 0 → t = 16 h