Es sei \(g(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) für \(x\neq x_0\)..
Diffbarkeit von \(f\) in \(x_0\) bedeutet, dass
\(A:=\lim_{x\to x_0} g(x)\) existtiert, d.h. zu jedem \(\epsilon>0\)
gibt es ein \(\delta>0\), so dass
\(x_0-\delta < x < x_0+\delta\Rightarrow |g(x)-A|<\epsilon\).
Existenz der linksseitigen Ableitung \(A_-\) bedeutet
die Existenz eines \(\delta_1>0\), so dass
\(x_0-\delta_1 < x < x_0\Rightarrow |g(x)-A_-|<\epsilon\).
Entsprechend bedeutet die
Existenz der rechtsseitigen Ableitung \(A_+\)
die Existenz eines \(\delta_2>0\), so dass
\(x_0 < x < x_0+\delta_2\Rightarrow |g(x)-A_+|<\epsilon\).
Setze \(\delta=\min(\delta_1,\delta_2)\), dann gilt
\(x_0-\delta<x<x_0+\delta \Rightarrow |g(x)-A|<\epsilon\) für
\(A_-=A_+=:A\),
q.e.d.
Die Stetigkeit in \(x_0\) muss nicht vorausgesetzt werden, da
diese ex post aus der Diffbarkeit folgt.
