Du brauchst hier eine Tabelle für Dgl höherer (mehr als zweiter) Ordnung, siehe z.B.
https://www-user.tu-chemnitz.de/~peju/skripte/gdgl/Merkblatt_PL.pdf
Zum Finden des richtigen Ansatzes teile die rechte Seite auf:
e2x: 2. Fall, m=0, α=2 keine Nullstelle von p.
4: 1. Fall: m=0, 0 ist doppelte Nullstelle von p, also Ansatz A0x2.
Ich würde (wg Übersicht) auch zwei getrennte partikuläre Lösungen für die beiden Teile der rechten Seite bestimmen und die beiden dann addieren.