Wieso ist x hier jetzt 1 / wie kann man das ohne "Ausprobieren" beweisen?

Question

Aufgabe:

f (x) = \( \frac{3}{x} \) - \( \frac{4}{x^{2}} \)

Ableitung (f Strich (x) soll den Wert -5 haben.

Problem/Ansatz:

Ableitung: = \( \frac{-3x^{2} + 8x}{x^{4}} \)

dann umgestellt: 5\( x^{3} \) + 3\( x^{2} \) - 8 = 0

Wieso ist x hier jetzt 1 / wie kann man das ohne "Ausprobieren" beweisen?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

f(x) = 3/x -4/x^2

f'(x) = -3x^-2 +8x^-3 = -3/x^2 + 8/x^3

f'(x) =5

-3/x^2 + 8/x^3 = -5

(-3x+8)/x^3 = -5

-3x+8+5x^3 =0

5x^3-3x+8= 0

Die Gleichung ist nur mit einem Näherungsvefahren lösbar.

Das Newtoverfahren ist das übliche.

Comments

5x³-3x+8= 0

Die Gleichung ist nur mit einem Näherungsvefahren lösbar.

Dieses Gerücht hält sich hartnäckig im Forum.

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Dann solltest du das Gerücht aus der Welt schaffen.

Was hindert dich daran?

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Die reelle Lösung lautet \(\,\displaystyle x=-\frac15\cdot\left(\sqrt[3]{5\big(20-\sqrt{395}\big)}+\sqrt[3]{5\big(20+\sqrt{395}\big)}\right)\).

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Cardano kennt kein Schüler. Drum erwähnt ich das erst gar nicht.

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Damit es auch so bleibt?

Answer 2

5·x^3 + 3·x^2 - 8 = 0

Wenn die Summe der Koeffizienten Null ist dann ist 1 eine Lösung. Das ist hier also

5 + 3 + (-8) = 0

Ich denke, das kann man so sehen oder.

Weitere Lösungen bekommst du dann evtl. durch Polynomdivision oder Horner Schema.

Hier gibt es allerdings nur noch 2 komplexe Lösungen.

Comments

Du hast aber vermutlich ein paar Flüchtigkeitsfehler gemacht.

f(x) = 3/x - 4/x^2

f'(x) = 8/x^3 - 3/x^2 = (8 - 3·x)/x^3 = -5

8 - 3·x = -5·x^3

5·x^3 - 3·x + 8 = 0 --> x = -1.339560295

Schau mal durch ob ich jetzt etwas falsch erkannt habe oder ob du etwas verkehrt hingeschrieben hast oder wo unsere Differenz liegt.

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Hatte aus 3/x - 4/x²  dann (3x-4) / x² gemacht und dann die Quotientenregel angewandt.

Das war dann (-3x²-6x² + 8x) / x⁴

Und wenn man das zusammenrechnet: (-3x²+8x) / x⁴

Und abschließend hatte ich den Bruch mit x gekürzt. (x⁴ → x³ und 8x → 8)

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Das habe ich doch oben auch

f'(x) = 8/x^3 - 3/x^2 = (8 - 3·x)/x^3 = -5

Aber bei dem Gleich -5 setzen muss du irgendwas anders haben.