Prüfen, ob die folgende Reihe konvergiert

Question

Aufgabe:

Prüfen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren:

\(\displaystyle \sum \limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^{\sqrt{2}-1}} \)

Problem/Ansatz:

Ich schreibe den Bruch in \( {i^{-(\sqrt{2}-1)}} \) um

\( \sum \limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^{\sqrt{2}-1}} \) = \( \lim\limits_{i\to\infty} \) \( {i^{-(\sqrt{2}-1)}} \)

und wende im Anschluss das Wurzelkritierium an.

\( \sqrt[{-(\sqrt{2}-1)}]{i^{-(\sqrt{2}-1)}} \)= i

hier setzen ich unendlich für i ein und komme auf das Ergebnis Reihe geht gegen unendlich und divergiert deshalb. Ist mein Ansatz so korrekt oder habe ich es komplett vercheckt? :D

Comments

Nur mal ein kleiner Tipp:

      - ( √(2)  - 1) = 1 - √(2)

Answer 1

Es ist \(0<\sqrt{2}-1< 1\). Für \(i>1\) gilt dann

\(i^{\sqrt{2}-1}<i\), folglich \(\frac{1}{i^{\sqrt{2}-1}}>\frac{1}{i}\).

Daher ist die divergente harmonische Reihe \(\sum_{i=1}^{\infty} 1/i\) bis

auf etwaige Anfangsglieder eine Minorante der Reihe, die

folglich divergiert.

Answer 2

Das Wurzelkriterium solltest Du nochmal nachlesen, da geht es um \(\sqrt[i]{a_i}\).

Und "unendlich einsetzen" ist auch nicht erlaubt, Grenzwerte bilden dagegen schon.

Hier führt aber das Majorantenkriterium relativ einfach zum Ziel. Überlege, ob Du eine ähnliche divergierende Reihe schon kennst und vergleiche mit dieser hier.