Hallo Mustafa,
Natürlich kannst Du auch noch etwas warten, bis die Komplett Lösung hier erscheint.
was lange währt, wird endlich gut. Ich hatte Dir ja bereits den Tipp gegeben, wie man die Lagrange-Basispolynome etwas einfacher aufstellt. So auch hier: die drei Stützstellen (drei mit gleichem Abstand im Intervall 0 bis 1) sind$$x_i = \{0;\, 0,5;\, 1\}$$Angefangen mit \(L_0\) also \(x_0=0\) - das lassen wir weg - dann bleibt der Term $$(x-0,5)(x-1)$$wenn man hier die aktuelle Stützstelle einsetzt, dann erhält man \(-0,5 \cdot (-1) = 0,5\). Dadurch wir geteilt - also ist$$L_0 = 2(x-0,5)(x-1) = 2x^2 - 3x +1$$genauso geht man bei \(L_1\) mit der Stützstelle \(x_1=0,5\) und \(L_2\) mit \(x_2=1\) vor:$$L_1(x) = (x-0)(x-1) \cdot(- 4) = -4x^2 + 4x \\ L_2(x) = (x-0)(x-0,5) \cdot 2 = 2x^2 - x$$Jede dieser Funktionen hat die Eigenschaft an der aktuellen Stützstelle den Wert 1 und an allen anderen den Wetrt 0 anzunehmen!
Wenn nun eine beliebige Funktion \(f\) existiert, mit den drei Funktionswerten \(f_0=f(0)\), \(f_1=(0,5)\) und \(f_3=f(1)\) so lässt sich diese Funktion mit dem Lagrange-Polynom annähern: $$f(x) \approx f_0 \cdot L_0(x) + f_1 \cdot L_1(x) + f_2 \cdot L_2(x) = \sum\limits_{i=0}^{2} f_iL_{i}(x)$$und deshalb kann man das ganze auch näherungsweise integrieren:$$\begin{aligned}\int f(x)\,\text{d}x &\approx \int \sum\limits_{i=0}^{2} f_iL_{i}(x)\,\text{d}x \\ &= \sum\limits_{i=0}^{2} f_i \int L_{i}(x)\,\text{d}x \end{aligned}$$Die \(f_i\) sind hier nicht konkret gegeben, aber wir können die Integrale der Basispolynome im Intervall \([0\dots 1]\) berechnen:$$\int\limits_{x=0}^{1} L_{0}(x)\,\text{d}x = \left.\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x + x\right|_0^1 = \frac{1}{6} \\ \int\limits_{x=0}^{1} L_1(x)\,\text{d}x = \left.-\frac{4}{3}x^3 + 2x^2\right|_0^1 = \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \\ \int\limits_{x=0}^{1}L_2(x)\,\text{d}x = \left.\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2\right|_0^1 = \frac{1}{6}$$Also ist $$\int\limits_{x=0}^{1} f(x) \,\text{d}x \approx \frac{1}{6}(f(0) + 4f(0,5) + f(1))$$und dies ist genau die Simpsonregel.
Gruß Werner
