Lagrange Übung Analysis 2

Question

Hallo zusammen,

Bin gerade am lernen für sie Ana 2 Klausur und komme bei dem Übungsaufgaben leider nicht weiter.

Wir sollten die Aufgabe mit Hilfe Lagrange lösen wir haben einen Einheitskreis im Ursprung und den Punkt (4/3) . Welcher Punkt auf dem Rand des Kreises ist am nächsten?

Ansatz : ich habe den Einheitskreis als Nebenbedingung genommen und nach 0 umgestellt. Nun war die Überlegung mit dem Punkt (0/0) und Punkt (4/3) eine Gerade zu erstellen dir der Schnitt der gesuchte Punkt ist . Nur weiß ich nicht wie ich hier dann mit Lagrange rechnen soll. Oder gibt's hier einen anderen Weg ?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Klick mal da drauf, wahrscheinlich bringt Dich das zur Lösung.

Answer 2

Mit Lagrange weiß ich es nicht.

Gerade durch den Ursprung und durch $P(4|3)$→  $y=\frac{3}{4}x$ schneidet den Einheitskreis:

$x^2+ \frac{9}{16}x^2=1$

$\frac{25}{16}x^2=1$

$x^2=\frac{16}{25}$

$x_1=\frac{4}{5}$    $y_1=\frac{3}{4}*\frac{4}{5}=\frac{3}{5}$

Die 2. Lösung kommt nicht in Betracht.

Comments

Vielen Dank, ja genau so war es auch meine Überlegung und so bin ich dann auch auf den selben Punkt gekommen! Danke

Answer 3

Lagrange:

Minimiere $f(x,y)=(x-4)^2+(y-3)^2$ unter der Nebenbedingung

$g(x,y)=x^2+y^2-1=0$

Notwendig Bedingung für ein Minimum von $f$ ist

die Gradientengleichung

$\nabla g=\lambda\nabla f$, also

$(2x-8,2y-6)=(2\lambda x,2\lambda y)\quad (*)$

für ein $\lambda$

Fall: $\lambda=0\Rightarrow x=4\; \wedge y=3$, aber $(3,4)$

liegt nicht auf dem Einheitspreis, also $\lambda\neq 0$.

Ähnliche Überlegungen liefern $x\neq0 \wedge\; y\neq 0$

$(*)$ ergibt dann wegen

$\frac{x-4}{y-3}=\frac{x}{y}$ die Gleichung $y=3/4x$. Dies in $g(x,y)=0$ eingesetzt liefert

$x=4/5,\; y=3/5$. Die Werte $x=-4/5,\; y=-3/5$ ergeben ein Maximum des

Abstands, wie man sich anhand der Skizze von Moliets leicht klarmacht.

Comments

Hallo Ermanus,

wie kommst du hier auf die Funktion f(x,y)?

Viele Grüße

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Der Abstand eines Punktes $(x,y)$ von $(4,3)$ ist

$\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2}$. Dieser Abstand ist genau dann minimal,

wenn sein Quadrat $f(x,y)$ minimal ist.

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Hast du denn die Lagrange-Lösung nun verstanden?

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Hmm ja ich habe etwas gebraucht also du meinst du erstellt einen Kreis um den Punkt P(4/3). Ich habe es etwas anders gerechnet mit den Ableitungen und LGS aber komme dann auf die selben Ergebnisse.

Vielen Dank.

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also du meinst du erstellt einen Kreis um den Punkt P(4/3).

Nein. Ich habe einfach die Formel für den Abstand zweier

Punkte $p_1=(x_1,y_1),\; p_2=(x_2,y_2)$ in der Ebene verwendet

$\|p_1-p_2\|_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$,

wobei $\| p_1-p_2\|_2$ die euklidische Norm, also die Länge

des Vektors $p_1-p_2$ ist.

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Ah Oke. Und warum darf dann die Wurzel weggelassen werden ?

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Weil eine nichtnegative Funktion genau dann

minimal ist, wenn ihr Quadrat minimal ist;

denn $z\mapsto z^2$ ist für $z\geq 0$ streng monoton

wachsend.

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Okay. Super vielen Dank.