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Ich soll die Extrema einer Funktion $$g(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2$$ mit Hilfe von Lagrange-Multiplikatoren finden. Dazu kommen zwei Nebenbedingungen $$h = x^2+y^2+z^2 -1=0$$ und $$ j = x+y+z =0$$.


Mein Ansatz ist nun, zunächst die Lagrange-Funktion $$L = g + λ_1 * h + λ_2 * j $$ zu bilden und die nach allen fünf variablen (x,y,z,$\lamda_1$,$\lamda_2$) abzuleiten. Dann erhalte ich 3 Gleichung plus die beiden Nebenbedingungen, also ein Gleichungssystem aus 5 Gleichungen für 5 Variablen. Das Problem dann ist, dass die Nebenbedingung j quadratisch ist, somit habe ich kein Lineares Gleichungssystem und nur noch 4 Gleichungen zur Verfügung; Mein Gleichungssystem wäre also unterbesetzt.

Ich hatte auf dieser Seite schon nach anderen Möglichkeiten gesucht und eine gefunden, bei der ich eine Matrix erstelle, bei der jede Spalte die Ableitungen einer Gleichung nach den 3 Koordinaten enthält und dann die Determinante Null werden muss. Da scheint auch etwas halbwegs vernünftiges bei rum zu kommen. Das ist ja aber eigentlich nicht der Lagrange-Formalismus und daher wahrscheinlich nicht Sinn der Aufgabe. Wie könnte ich also stattdessen vorgehen?



Dies sind die Gleichungen, sowie die Ableitungen der Lagrange-Funktion

Mathematika_Lagrange_Ableitungen_Blatt4.png

Viele Dank

von

2 Antworten

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir sollen die Funktion:$$g(x;y;z)=x^2+y^2-z^2$$unter zwei konstanten Nebenbedingungen optimieren:$$h(x;y;z)=x^2+y^2+z^2=1\quad;\quad j(x;y;z)=x+y+z=0$$

Der reine Lagrange-Formalismus zur Bestimmung von Extrema unter Nebenbedingungen ist zwar leicht zu merken, aber in der praktischen Rechnung leider oft sehr umständlich. Hier ist nicht gefordert, über die Lagrange-Formalismus zu gehen, sonden über die Lagrange-Multiplikatoren.

Die Kernaussage von Lagrange ist, dass in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen sein muss. Die Gewichtungen der Gradienten innerhalb der Linearkombination sind die Lagrange-Multiplikatioren.$$\operatorname{grad}g(x;y;z)=\lambda_1\cdot\operatorname{grad}h(x;y;z)+\lambda_2\cdot\operatorname{grad}j(x;y;z)\quad\implies$$$$\left(\begin{array}{r}2x\\2y\\-2z\end{array}\right)=\lambda_1\left(\begin{array}{r}2x\\2y\\2z\end{array}\right)+\lambda_2\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)$$

Jetzt können wir die Lagrange-Multiplikatoren als Unbekannte aus unserer Rechnung sehr elegant loswerden. Da die drei Gradienten linear abhängig sein müssen, können sie kein 3-dimensionales Volumen aufspannen, d.h. ihre Determinante muss verschwinden:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}2x & 2x & 1\\2y & 2y & 1\\-2z & 2z & 1\end{array}\right|\stackrel{(S_1-=S_2)}{=}\left|\begin{array}{rrr}0 & 2x & 1\\0 & 2y & 1\\-4z & 2z & 1\end{array}\right|=-4z(2x-2y)=-8z(x-y)\quad\implies$$$$\underline{\underline{z=0}}\quad\lor\quad\underline{\underline{x=y}}$$

Wir haben also zwei mögliche Lagrange-Bedingungen für die Extrema gefunden. Wir führen daher eine Fallunterscheidung durch und setzen die jeweilige Lagrange-Bedingung in die beiden Nebenbedingungen ein.

1. Fall:\(\quad z=0\)$$0=j(x;y;0)=x+y\implies y=-x$$$$1=h(x;y;0)=x^2+y^2=x^2+(-x)^2=2x^2\implies x^2=\frac12\implies x=\pm\frac{1}{\sqrt2}$$Dieser Fall liefert uns also zwei Kandidaten:$$K_1\left(\frac{1}{\sqrt2}\bigg|-\frac{1}{\sqrt2}\bigg|0\right)\quad;\quad K_2\left(-\frac{1}{\sqrt2}\bigg|+\frac{1}{\sqrt2}\bigg|0\right)$$

2. Fall:\(\quad x=y\)$$0=j(x;x;z)=2x+z\implies z=-2x$$$$1=h(x;x;z)=2x^2+z^2=2x^2+(-2x)^2=6x^2\implies x^2=\frac16\implies x=\pm\frac{1}{\sqrt6}$$Dieser Fall liefert uns zwei weitere Kandidaten:$$K_3\left(\frac{1}{\sqrt6}\bigg|\frac{1}{\sqrt6}\bigg|-\frac{2}{\sqrt6}\right)\quad;\quad K_4\left(-\frac{1}{\sqrt6}\bigg|-\frac{1}{\sqrt6}\bigg|\frac{2}{\sqrt6}\right)$$

von 113 k 🚀

Ah. Besten Dank. Das ist ja so ähnlich, wie das, was ich bereits gesehen hatte. Ich wusste nicht, dass das auch unter die Lagrange-Multiplikatoren fällt. Warum ist das so? Denn eigentlich braucht man die Multiplikatoren ja gar nicht. In anderen Aufgaben musste ich die zu erst berechnen um dann meine Koordinaten bestimmen zu können.

Die entscheidende Aussage von Lagrange ist, dass die Gradienten aller Nebenbedingungen und der Gradient der zu optimierenden Funktion in einem Extremum linear abhängig sein müssen.

Die Lagrange-Multiplikatoren sind bei der Bestimmung der Extrema nur unwichtige Hilfsparameter. Allerdings haben sie in der Physik eine Bedeutung, weil sie ein Maß für die "Stärke" der jeweiligen Nebenbedingung sind. Die Lagrange-Multiplikatoren geben die Stärke der Zwangskraft an, die ein Objekt auf der durch die Nebenbedingung vorgegebenen Bahn hält.

Der Lagrange-Formalismus über die Lagrange-Funktion \((L=T-V)\), wobei \(T\) die kinetische Energie und \(V\) die potentielle Energie darstellen, kommt aus der Theoretischen Physik, genauer aus der klassichen Mechanik. Da ist man tatsächlich an der Größe der Lagrange-Multiplikatoren interessiert.

Bei der Berechnung von Extrema sind sie aber unwichtig.

Ah. Das hat es deutlicher gemacht. Besten Dank. Wir hatten heute auch inder Theoretischen Physik den Nutzen der Multiplikatoren. Nur hatten wir bis heute leider nichts darüber in Mathe.

Vielen Dank noch mal.

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Benutze das Einsetzungsverfahren. Also z.B. zunächst μ ersetzen.

Löse dann das Gleichungssystem. Ich erhalte folgende Lösungen

(x = - √6/6 ∧ y = - √6/6 ∧ z = √6/3 ∧ h = 1/3 ∧ k = 4·√6/9)
∨ (x = √6/6 ∧ y = √6/6 ∧ z = - √6/3 ∧ h = 1/3 ∧ k = - 4·√6/9)
∨ (x = - √2/2 ∧ y = √2/2 ∧ z = 0 ∧ h = -1 ∧ k = 0)
∨ (x = √2/2 ∧ y = - √2/2 ∧ z = 0 ∧ h = -1 ∧ k = 0)

von 422 k 🚀

Also du hast jetzt μ eingesetzt und bekommst das raus. Was ist denn bei dir h und k? Und was mache ich dann mit den vielen Lösungen? Ich könnte sie in g einsetzen und dann auf Hoch/-Tiefpunkte überprüfen, oder?

Ich habe statt mü und lambda enfach h und k genommen, weil ich eine griechische Buchstabenallergie habe.

Ich könnte sie in g einsetzen und dann auf Hoch/-Tiefpunkte überprüfen, oder?

Ja. Du suchst ja schließlich die Extrempunkte.

Ah ok. Du hattest nur in der ersten Zeile noch μ geschrieben, daher war ich verwirrt.


Ok. Dann probiere ich morgen mal, ob das so funktioniert und melde mich hier, falls nicht.


Vielen Dank schon mal.

Ich hätte dir ja nicht den Tipp geben können zunächst h zu ersetzen, denn du hast ja nicht h benutzt.

Ich habe eine meiner Nebenbedingungen h genannt. Das hat zwar auch etwas verwirrt, aber ich konnte noch selber sehen, dass du das nicht gemeint hast.

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