Bestimme den Grenzwert. Zentraler Grenzwertsatz

Question

Aufgabe:

Bestimme den Grenzwert für n -> unendlich für

wobei p_n=p/sqrt(n) ist und einmal für p_n=p/n.

Text erkannt:

$\frac{n\left(p_{n}^{3} q_{n}+p_{n} q_{n}^{3}\right)}{\left(n p_{n} q_{n}\right)^{3 / 2}}$

Problem/Ansatz:

Meine Idee war es die terme so umzuformen, dass ich im zähler und im nenner das n kürzen kann. Setze ich aber n gegen unendlich ein, so bekomme ich einen Ausdruck der Form 0/0 was nicht definiert ist. kann mir da bitte jemand helfen?

Comments

Kürze zunächst mit $\displaystyle np_nq_n\colon\varrho_n=\frac{p_n^2+q_n^2}{\sqrt{np_nq_n}}$.
Ersetze nun $q_n$ durch $\displaystyle 1-p_n\colon\varrho_n=\frac{p_n^2+(1-p_n)^2}{\sqrt{np_n(1-p_n)}}$.
Ersetze nun $p_n$ durch $\displaystyle\tfrac pn\colon\varrho_n=\frac{\big(\tfrac pn\big)^2+\big(1-\tfrac pn\big)^2}{\sqrt{p\big(1-\tfrac pn\big)}}$.
Mit $n\to\infty$ geht der Zähler offenbar gegen $1$, während der Nenner gegen $\sqrt p$ geht.
Damit ist $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\varrho_n=\frac1{\sqrt p}$.

Wird dagegen im dritten Schritt $p_n$ durch $\frac p{\sqrt n}$ ersetzt, dann zeigt eine analoge Rechnung, dass $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\varrho_n=0$ ist.

---

Danke, das hat mir geholfen :)

Answer 1

Es kann nicht sein das einmal

$$p_n = \frac{p}{\sqrt{n}}$$

und ein andermal

$$p_n = \frac{p}{n}$$

gilt. Bitte stelle die komplette Aufgabe exakt so wie sie dir vorliegt ohne Sachen zu verändern.

Comments

Hallo, es geht um den Zentralen Grenzwertsatz und wie die Konvergenzgeschwindigkeit von p_n entscheidend ist, ob die Voraussetzung eben erfüllt ist oder nicht. Hier der ganze Text:

Text erkannt:

- Die Bedingung $\varrho_{n} \rightarrow 0$ soll sicherstellen, daß die beteiligten Zufallsvariablen von vergleichbarer Größenordnung sind. Betrachten wir dazu ein Beispiel: Sind $Y_{1}^{n}, \ldots, Y_{n}^{n}$ unabhängig und zum Parameter $p_{n}$ Bernoulliverteilt, dh. mit $q_{n}=$ $1-p_{n}$ gilt
$P\left(Y_{i}^{n}=1\right)=p_{n} \text { und } P\left(Y_{i}^{n}=0\right)=q_{n},$
so ist $\mathbb{E} Y_{i}^{n}=p_{n}$, Var $Y_{i}^{n}=p_{n} q_{n}$. $S_{n}$ ist zu den Parametern $n$ und $p_{n}$ binomialverteilt und $\operatorname{Var} S_{n}=n p_{n} q_{n}$. Außerdem ist
$\gamma_{i}^{n}=\mathbb{E}\left|Y_{i}^{n}-p_{n}\right|^{3}=p_{n}^{3} q_{n}+p_{n} q_{n}^{3} .$
Folglich ist
$\varrho_{n}=\frac{n\left(p_{n}^{3} q_{n}+p_{n} q_{n}^{3}\right)}{\left(n p_{n} q_{n}\right)^{3 / 2}} .$
Konvergiert $p_{n}$ langsam gegen 0 , etwa $p_{n}=p / \sqrt{n}$, so gilt $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \varrho_{n}=0$ und die Voraussetzungen des zentralen Grenzwertsatzes sind erfüllt, konvergiert $p_{n}$ schnell gegen 0 , etwa $p_{n}=p / n$, so gilt $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \varrho_{n}=\frac{1}{\sqrt{p}}$ und der zentrale Grenzwertsatz gilt nicht (in diesem Fall strebt die Verteilung von $S_{n}$ nach Satz 4.1 gegen die Poisson-Verteilung !).