Ok du hast also insgesamt sechs Bedingungen - der Vollständigkeithalber schreib ich die nochmal an:
\(I:f(1) = g(1) = 3 \)
\(II:f(3) = h(3) = 1 \)
\(III:f'(1) = g'(1) = -2 \)
\(IV:f'(3) = h'(3) = 0 \)
\(V:f''(1) = g''(1) = -2 \)
\(VI: f''(3) = h''(3) = 0 \)
Da du sechs Bedingungen hast ist ein Polynom 5. Grades gesucht. Allgemein hat das folgende Form:
\(f(x) =ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f \) und mithilfe unsere sechs Bedingungen können wir die Unbekannte \(a,b,c,d,e,f \) bestimmen.
Jetzt zu deiner Frage, wie man das LGS aufstellt:
\( I: 3 = a\cdot1^{5}+b\cdot1^{4}+c\cdot1^{3}+d\cdot1^{2}+d\cdot1+ f\)
\(II: 1= a\cdot3^{5}+b\cdot3^{4}+c\cdot3^{3}+d\cdot3^{2}+d\cdot3+ f\)
Für die dritte und vierte Bedingung braucht man die erste Ableitung von \(f(x) \).
Die lautet: \(f'(x)=5ax^{4}+4bx^{3}+3cx^{2}+2dx+e \)
\(III: -2= 5\cdot a\cdot 1^{4} +4\cdot b\cdot 1^{3} + 3\cdot c\cdot 1^{2} + 2\cdot d\cdot 1 + e \)
\(IV: 0= 5\cdot a\cdot 3^{4} +4\cdot b\cdot 3^{3} + 3\cdot c\cdot 3^{2} + 2\cdot d\cdot 3 + e \)
Für die fünfte und sechste Bedingung braucht man schließlich die zweite Ableitung von \( f(x) \).
Die lautet: \(f''(x)=20ax^{3} + 12bx^{2} + 6cx +2d\)
\(V: -2 = 20 \cdot a \cdot 1^{3} + 12 \cdot b \cdot 1^{2} + 6 \cdot c \cdot 1 + 2 \cdot d\)
\(V: 0 = 20 \cdot a \cdot 3^{3} + 12 \cdot b \cdot 3^{2} + 6 \cdot c \cdot 3 + 2 \cdot d\)
Kann sein das mir beim Einsetzen eventuell ein Fehler unterlaufen ist. Also bitte nicht 1:1 abschreiben :D Falls du beim Lösen auch noch Hilfe brauchst dann schreib gerne einen Kommentar :)
