Aufgabe:
Winkel: berechne fehlende Koordinate des Vektors durch gegebenen Winkel
Problem/Ansatz:
Der Vektor \( \vec{a} \) schließt mit der gegebenen Achse den Winkel φ ein. Berechne die fehlende Koordinate auf zwei Dezimalstellen genau.
Text erkannt:
Der Vektor ä schließt mit der gegebenen Achse den Winkel \( \varphi \) ein. Berechne die fehlende Koordinate auf zwei Dezimalstellen genau.a) \( \vec{a}=\left(\begin{array}{l}3 \\ a_{y} \\ 5\end{array}\right), \varphi=60^{\circ}, y \)-Achse
Ein möglicher Richtungsvektor der y-Achse ist \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \).
Der Kosinus von 60° ist 1/2.
Formeln zum Schnittwinkel zweier Geraden findest du in deinen Unterlagen oder im Tafelwerk.
Reicht das?
Ja danke weiter weiß ich Bescheid?
Beispiel: [In der Grafik vorhanden
Es giet: \( \begin{aligned} \cos (\alpha) & =\frac{\vec{a} * \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|} \\ & \Rightarrow \cos (60)=\frac{\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) *\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ u\end{array}\right)}{\left.\left|\left(\begin{array}{l}1 \\ a\end{array}\right)\right| \cdot \mid \begin{array}{l}2 \\ 0 \\ u\end{array}\right) \mid} \\ & \Leftrightarrow 0,5=\frac{1 \cdot 2+1 \cdot 0+0 \cdot u}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+0^{2}+u^{2}}} \\ & \Leftrightarrow 0,5=\frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{4+u^{2}}} \\ & \Leftrightarrow 0,5=\frac{2}{\sqrt{2 \cdot\left(4+u^{2}\right)}}\end{aligned} \)
]
Kontrollergebnis:
[3, a, 5]·[0, 1, 0] / |[3, a, 5]| = COS(60°) --> a = √102/3 = 3.367
[3, a, 5]·[0, -1, 0] / |[3, a, 5]| = COS(60°) → a = -√102/3 = -3.367
Auf zwei Dezimalstellen im numerischen Sinne wäre das \(\pm 3.4\). Vermutlich ist aber "zwei Stellen hinter dem Komma" gemeint, dann wäre es \(\pm 3.37\).
