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Aufgabe:

Sei K ein Körper mit Charakteristik ≠ 3 und A ∈ K5x5 mit PA= (x-2)3 (x+7)2 und
MA = (x-2)2 (x+7).

Bestimmen Sie die Jordan-Normalform von A.

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Das Minimalpolynom hat eine 2-fache Nullstelle bei 2, also ist der größte Jordankasten 2x2. Da das charakteristisches Polynom eine dreifache Nullstelle bei 2 hat, kommt also noch ein 1x1 Jordankasten hinzu. Genauso geht man bei der Nullstelle -7 vor. Also sieht die Jordanmatrix so aus

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 &  0 & 0  \\ 0 & 2 & 0 &  0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 &  0 \\ 0 & 0 & 0 & -7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -7 \end{pmatrix} $$

Nachrechnen ergibt

\( \det( \lambda \cdot \text{Id} - A)  = ( \lambda + 7)^2 (\lambda - 2)^3\)

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