Taylor Reihe und Komvergenzradius

Question

Aufgabe: betrachten Sie die durch f:(-∞, 3/2) → ℝ mit f(x)=ln(3-2x) definierter Funktion. Berechnen Sie die zugehörige taylor Reihe von f im entwicklungspunkt x=1 und bestimmen Sie ihren konvergenzradius

Problem/Ansatz:

Die 3 ersten Ableitungen habe ich bereits gemacht:

f'= -2*(3-2x)^(-1)

f''= -4*(3-2x)^(-2)

f'''= -16*(3-2x)^(-3)

Doch wie finde ich heraus wie meine  k-te f^(k) Ableitung lautet ?

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion $f(x)$ können wir umschreiben$$f(x)=\ln(3-2x)=\ln(3-2(x-1)-2)=\ln(1-2(x-1))$$

Diese Funktion soll um $(x_0=1)$ herum entwickelt werden.

Wir setzen daher $(\pink{x=1+y})$ und entwickeln stattdessen die Funktion$$g(y)=\ln(1-2(\pink{1+y}-1))=\ln(1-2y)$$um den Nullpunkt herum. Dazu stellen wir ihre Ableitung als geometrische Reihe dar$$g'(y)=\frac{-2}{1-2y}=-2\sum\limits_{n=0}^\infty(2y)^n=-\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{n+1}\cdot y^n$$

Diese Darstellung existiert, wenn die geometrische Reihe konvergiert, also für $|2y|<1$.

Integration führt auf die gesuchte Potenzreihe:$$g(y)=C-\sum\limits_{n=0}^\infty2^{n+1}\cdot\frac{y^{n+1}}{n+1}=C-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2^n}{n}\,y^n$$

Die Integrationskonstante $C=g(0)=\ln(1)=0$ verschwindet und mit der Rücksubstitution $(\pink{y=x-1})$ erhalten wir die gesuchte Potenzreihe:$$f(x)=-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2^n}{n}(x-1)^{n}$$

Diese Reihendarstellung ist gültig für $|2y|<1$ bzw. für $|x-1|<\frac12$.

Ihr Konvergenzradius ist daher $\frac12$ und die gültigen Argumente sind $\frac12<x<\frac32$.

Comments

Hallo Tschakabumba,

das wäre auch meine Lösung gewesen.

Leider musste ich noch mit einem Vorzeichen kämpfen

und konnte daher nicht schnell genug sein.

Sehr schöne Lösung! Daher ein Daumen.

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Wenn nach der k-ten Ableitung gefragt ist. Wie würde die aussehen ?

Answer 2

Berechne auch noch die 4., 5. und 6. Ableitung, dann siehst du es.

Du bekommst eine Kombination aus Potenzen von 2 und einer Fakultät.

Es wäre besser gewesen, die Faktoren getrennt zu lassen.

f'= -2*(3-2x)^(-1)

f''= -2*(-2)*(-1)*(3-2x)^(-2)

f'''= -2*(-2)*(-2)*(-1)*(-2)*(3-2x)^(-3)

Comments

Danke für deine Antwort. Ich habe es versucht doch komme immer noch nicht auf die k-te Ableitung