Zerlegen Sie die Funktion in einen ganzrationalen Anteil (Asymptote) und einen echtgebrochenrationalen Anteil.

Question

Aufgabe 1:

(8x³-8x²-32x+32)/(x³-2x²-11x+12)

Aufgabe 2:

(x³-x²-4x+4)/(5x²-30x+25)

Zerlegen Sie die Funktion in einen ganzrationalen Anteil (Asymptote) und einen echtgebrochenrationalen Anteil.

Leider weiß ich nicht was ich da machen soll :(

Danke, im Voraus

Comments

Du musst Polynomdivision machen.

Du erhältst einen ganzrationalen Anteil und der Rest ist der Zähler des gebrochenen Anteils.

Answer 1

Aloha :)

"Echt gebrochener" Anteil bedeutet, dass der Grad des Zähler-Polynoms kleiner als der Grad des Nenner-Polynoms ist. Unser Ziel ist also, die Terme entsprechend umzuformen.

zu 1) Wir führen den ersten Schritt der Polynom-Division durch:

$$\quad\quad\!\!(\red{8x^3}-8x^2-32x+32)\div(\red{x^3}-2x^2-11x+12)=\red 8$$$$-\red8\cdot(\red{x^3}-2x^2-11x+12)$$$$=\quad\quad\quad\quad\!8x^2+56x-64$$

Der Grad des Rest-Polynoms $(8x^2+56x-64)$ ist $2$.

Der Grad des Divisor-Polynoms $(x^3-2x^2-12x+12)$ ist $3$.

Damit bist du fertig:$$f(x)=\frac{8x^3-8x^2+32x+32}{x^3-2x^2-11x+12}=\color{blue}8+\frac{8x^2+56x-64}{x^3-2x^2-11x+12}$$

Der Bruch in dem blauen Term geht für $x\to\pm\infty$ gegen $0$, übrig bleibt die Asymptote $\color{blue}8$.

zu 2) Wir führen auch hier wieder eine Polynom-Division durch:$$\quad\quad\!\!(\pink{x^3}-x^2-4x+4)\div(\pink{5x^2}-30x+25)=\pink{\frac x5}+\green{1}$$$$-\pink{\frac x5}\cdot(\pink{5x^2}-30x+25)$$$$=\quad\quad\quad\!\!\green{5x^2}-9x+4$$$$-\green1\cdot(\pink{5x^2}-30x+25)$$$$=\quad\quad\quad\quad\;21x-21$$

Der Grad des Rest-Polynoms $(21x-21)$ ist $1$.

Der Grad des Divisor-Polynoms $(5x^2-30x+25)$ ist $2$.

Damit bist du wieder fertig:$$f(x)=\frac{x^3-x^2-4x+4}{5x^2-30x+25}=\color{blue}\left(\frac x5+1\right)+\frac{21x-21}{5x^2-30x+25}$$

Der hintere Bruch in dem blauen Term verschwindet wieder für $x\to\pm\infty$, übrig bleibt hier die Gerade $\color{blue}\left(\frac x5+1\right)$ als Asymptote.

Comments

hey, dankeschön!

noch eine frage: die erste aufgabe ist in der musterlösung so: (8x+64)/(x²-x-12). wie kürzt man das obere ergebnis damit das so wird?

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Aloha :)

Man kann Zähler und Nenner in Linearfaktoren zerlegen:$$\phantom=\frac{8x^2+56x-64}{x^3-2x^2-11x+12}=\frac{8\cdot(x+8)\cdot\pink{(x-1)}}{\pink{(x-1)}\cdot(x+3)\cdot(x-4)}$$

Den pinken Linearfaktor kannst du kürzen:$$=\frac{8\cdot(x+8)}{(x+3)\cdot(x-4)}=\frac{8x+64}{x^2-x-12}$$

Das ist aber laut Aufgabenstellung eigentlich gar nicht verlangt.

Answer 2

Man kann evtl vorher auch kürzen

1.

(8·x³ - 8·x² - 32·x + 32)/(x³ - 2·x² - 11·x + 12)

= 8 + (8·x + 64)/(x² - x - 12)

2.

(x³ - x² - 4·x + 4)/(5·x² - 30·x + 25)

= 0.2·x + 1 + 4.2/(x - 5)