Grenzwert einer Folge berechnen?

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie den Grenzwert der Folge:

$$a_{n} = \frac{n^{4}-2}{n^{2}+4}+\frac{n^{3}(3-n^{2})}{n^{3}+1}$$

Problem/Ansatz:

Die Lösung im Skript sagt das der Grenzwert dieser Folge a = -1 ist. Der angegebene Lösungsweg ist für mich auch nachvollziehbar, aber ich komme mit meiner Methode auf a = 3. Was mache ich falsch? Mein Ansatz ist:

$$a_{n} = \frac{n^{4}-2}{n^{2}+4}+\frac{n^{3}(3-n^{2})}{n^{3}+1} = \frac{n^{2}(n^{2}-\frac{2}{n^{2}})}{n^{2}(1+\frac{4}{n^{2}})}+\frac{n^{3}(3-n^{2})}{n^{3}(1+\frac{1}{n^{3}})} = \frac{n^{2}-\frac{2}{n^{2}}}{1+\frac{4}{n^{2}}}+\frac{3-n^{2}}{1+\frac{1}{n^{3}}} = \frac{n^{2}{}}{1}+\frac{3-n^{2}}{1} = 3$$

Answer 1

Aloha :)

Die Grenzwertsätze gelten nur, wenn die Einzelgrenzwerte existieren:

$$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}(a_n)}_{=\text{muss existieren}}\pm\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}(b_n)}_{=\text{muss existieren}}$$

Bei dir tauchen folgende Grenzwerte auf:$$a_n=\cdots=\underbrace{\frac{n^2-\frac{2}{n^2}}{1+\frac{4}{n^2}}}_{\to\infty}+\underbrace{\frac{3-n^2}{1+\frac{1}{n^3}}}_{\to-\infty}$$Die Grenzwerte beider Teilfogen existieren nicht, daher kannst du die obere Regel für Summe und Differenz von Grenzwerten nicht anwenden.

Ein Weg wäre hier, die beiden Brüche zusammenzufassen:$$\small a_n=\frac{n^4-2}{n^2+4}+\frac{n^3(3-n^2)}{n^3+1}=\frac{n^4-2}{\red{n^2+4}}+\frac{3n^3-n^5}{\green{n^3+1}}=\frac{(n^4-2)\green{(n^3+1)}+(3n^3-n^5)\red{(n^2+4)}}{\red{(n^2+4)}\green{(n^3+1)}}$$$$\small\phantom{a_n}=\frac{(n^7-2n^3+n^4-2)+(3n^5-n^7+12n^3-4n^5)}{n^5+4n^3+n^2+4}=\frac{-n^5+n^4+10n^3-2}{n^5+4n^3+n^2+4}$$$$\small\phantom{a_n}=\frac{\pink{\frac{1}{n^5}}\left(-n^5+n^4+10n^3-2\right)}{\pink{\frac{1}{n^5}}\left(n^5+4n^3+n^2+4\right)}=\frac{-1+\frac1n+\frac{10}{n^2}-\frac{2}{n^5}}{1+\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^3}+\frac{4}{n^5}}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\frac{-1+0+0-0}{1+0+0+0}=-1$$

Comments

Das ergibt Sinn, Vielen Dank für die Hilfe!

Answer 2

Hallo :-)

Bei deiner vorletzten Gleichheit begehst du den folgeschweren Fehler, die Grenzwertsätze anzuwenden, obwohl du bei deiner Rechnung keine Grenzwertbetrachtung machst.

Also erstmal vereinfachen:

$a_{n} = \frac{n^{4}-2}{n^{2}+4}+\frac{n^{3}(3-n^{2})}{n^{3}+1}=\frac{-n^5 + n^4 + 10 n^3 - 2}{n^5+4n^3+n^2+4}$

Jetzt kannst du nochmal deine Methode machen, indem du zunächst den Term $n^5$ ausklammerst und dann erst eine Grenzwertbetrachtung machst.

Comments

Das macht natürlich Sinn, Vielen Dank für die Hilfe!