uneigentliches Riemann Integral

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Zeigen oder widerlegen Sie:
Sei $f:[0, \infty) \rightarrow(0, \infty)$ eine stetige Funktion, deren uneigentliches R-Integral erfülle, dass
$\int \limits_{0}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x<\infty .$
Dann gilt:
$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=0 .$

Problem/Ansatz:

Ich war erst der Meinung dass das nicht stimmt aber ich finde keine Funktion. Bewiesen bekomme ich es auich nicht recht. Wäre dankbar um einen Tipp!

Answer 1

Wir definieren eine Funktion $h:[0,\infty) \to [0,\infty)$ mit der Eigenschaft, dass der Graph durch die "Dreiecke" durch die Punkte

$$(n-1/n^3,0), \; (n,n), \;(n+1/n^3,0), \quad n \in \N, \quad n>1(korrigiert)$$

und ansonsten durch $h(x):=0$ definiert wird.

Damit definieren wir dann $f(x):=h(x)+\exp(-x)$

Comments

........................................ gelöscht

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Hallo

a)ich sehe nicht a) wie die Funktion stetig ist, b wie sie für x->oo gegen 0 konvergiert, wenn für n->oo f(n)=n

lul

wenn f(x)->0 falsch ist gilt f(x)>a>0 für x>x0

das Integral von x0 bis G  ist dann >a*(G-x0)  und für G->oo nicht endlich.

lul

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Die Funktion h ist stückweise über Geraden definiert. An den Nahtstellen sind die Funktionswerte jeweils 0, also ist der Übergang stetig.

Die Funktion h geht nicht gegen 0, es handelt sich um ein Gegenbeispiel zur Aussage.

wenn f(x)->0 falsch ist gilt f(x)>a>0 für x>x0

Nein, die Konvergenz gegen 0 kann auch dadurch scheitern, dass f "unentschlossen rumeiert". Das ergibt sich auch, wenn man die formale Konvergenz-Definition negiert.

Answer 2

Hallo

nimm einen Wiederspruchsbeweis also |f(x)|>=a für x>x_0

dann schätze das Integral von x0 bis oo ab

lul

Comments

bis wohin "x0 bis oo"? und ist das jetzt wahr oder falsch. das würde mir schon immens helfen

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Die Aussage der Aufgabe ist falsch.

Der Ansatz von lul ist falsch, weil dort nicht das "Gegenteil" der Behauptung angesetzt wird.

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KORREKTUR

Ich hatte überlesen, dass f in die positiven reellen Zahlen abbildet. Mein Gegenbeispiel wäre für $f:[0,\infty) \to [0, \infty)$ gewesen. So ist es etwas komplizierter.

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Wahrscheinlich klappt dein Beispiel (meins tut es jedenfalls), wenn du e^-x zu deiner Funktion addierst

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Jau, das wollte ich gerade schreiben.

Willst Du nicht die Antwort schreiben und die Punkte für Dich verbuchen?

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Wegen  und ist das jetzt wahr oder falsch. das würde mir schon immens helfen solltest auch du an dieser Stelle erst mal Schluss machen.

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Vielen dank :)

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Was war denn dein Gegenbeispiel Mathehilf?

Also wenn ich mich nicht verrechnet habe komme ich auf $$\frac{sinx}{x}+e^{-x}$$ ah ne ich habe mich vertan

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Ne irgendwie finde ich sie nicht. :( irgendwas muss ich übersehen

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Ich wäre dankbar wenn nochmal jemand helfen kann