Wann ist die det(A) # 0

Question

Problem/Ansatz:

Damit eine Matrix invertierbar ist, muss die Determinante # 0 sein. Entsprechend habe ich die Determinante berechnet:

3a-9-12+10+12+3a=0
Löst man diese Gleichung auf erhält man
a = -1/6

Habe ich mich verrechnet oder ist die Art und Weise meiner Antwort falsch?

Answer 1

Aloha :)

Zur Berechnung der Determinante subtrahiere die erste Zeile von der dritten:

$$\operatorname{det}\begin{pmatrix}1 & 4 & -10\\0 & 1 & -3\\1 & 4-a & 3a-9\end{pmatrix}=\operatorname{det}\begin{pmatrix}1 & 4 & -10\\0 & 1 & -3\\0 & -a & 3a+1\end{pmatrix}=(3a+1)-3a=1$$

Die Determinante ist unabhängig von $a$ stets gleich $1$.

Die Matrix $A$ ist daher für alle $a\in\mathbb R$ invertierbar.

Comments

Danke für die rasche Antwort,

warum wurde aus der letzten Zeile (3a+1)-3a und nicht (3a+1) -a?

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Du ziehst die erste Zeile von der letzten ab, also wird die letzte Zeile zu:$$a_{31}=1-1=0$$$$a_{32}=(4-a)-4=-a$$$$a_{33}=(3a-9)-(-10)=3a+1$$

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Meinte rechts neben der Matrix

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Die letzte Determinante wurde mit Hilfe von Unterdeterminanten berechnet:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/…

Gruß Wolfgang