Berechnen Sie die Jacobimatrix von g o f

Question

Text erkannt:

Gegeben sind die Funktionen
$f(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} x^{2}-y \\ z-x^{2} \end{array}\right) \quad g(a, b)=\left(\begin{array}{c} a+b \\ b^{2} \\ a^{2} \\ a-b \end{array}\right)$

Berechnen Sie die Jacobimatrix von $g \circ f$
(a) unter Verwendung der Kettenregel
(b) ohne Verwendung der Kettenregel (Berechne zuerst die Funktion $h=g \circ f$ und anschließend die Jacobi-Matrix von $h$ )

Aufgabe:

Problem/Ansatz: könnt ihr mir bei a) mit Kettenregel und bei b) ohne Kettenregel, helfen? Wie rechnet man das?

Answer 1

Aloha :)

Gegeben sind die beiden Funktionen:$$\vec f(x,y,z)=\binom{x^2-y}{z-x^2}\quad;\quad \vec g(a;b)=\begin{pmatrix}a+b\\b^2\\a^2\\a-b\end{pmatrix}$$Gesucht ist die Jacobi-Matrix von $(h\coloneqq g\circ f)$.

Ohne Kettenregel:$$\vec h(x;y;z)=(g\circ f)(x;y;z)=\vec g(f_1(x;y;z);f_2(x;y;z))=\vec g(x^2-y;z-x^2)$$$$\phantom{h(x;y;z)}=\begin{pmatrix}(x^2-y)+(z-x^2)\\(z-x^2)^2\\(x^2-y)^2\\(x^2-y)-(z-x^2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z-y\\(z-x^2)^2\\(x^2-y)^2\\2x^2-y-z\end{pmatrix}\eqqcolon\begin{pmatrix}h_1(x;y;z)\\h_2(x;y;z)\\h_3(x;y;z)\\h_4(x;y;z)\end{pmatrix}$$$$J_{\vec h}(\vec x)=\begin{pmatrix}\operatorname{grad}h_1(x;y;z)\\\operatorname{grad}h_2(x;y;z)\\\operatorname{grad}h_3(x;y;z)\\\operatorname{grad}h_4(x;y;z)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1 & 1\\-4x(z-x^2) & 0 & 2(z-x^2)\\4x(x^2-y) &-2(x^2-y) & 0\\4x & -1 & -1\end{pmatrix}$$

Mit Kettenregel:

$$J_{\vec h}(\vec x)=J_{(\vec g\circ \vec f)}(\vec x)=J_{\vec g}(\vec f(\vec x))\cdot J_{\vec f}(\vec x)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 2b\\2a & 0\\1 & -1\end{pmatrix}_{(a;b)=(f_1(x;y;z);f_2(x;y;z))}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\cdot\begin{pmatrix}2x & -1 & 0\\-2x & 0 & 1\end{pmatrix}$$$$\phantom{J_{\vec h}(\vec x)}=\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 2(z-x^2)\\2(x^2-y) & 0\\1 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2x & -1 & 0\\-2x & 0 & 1\end{pmatrix}=\cdots$$

Die Freude am Ausrechnen der Matrix-Multiplikation möchte ich dir nicht nehmen ;)

Das Ergebnis sollte natürlich dieselbe Jacobi-Matrix ergeben wie oben.

Hier das Ergebnis vom Automaten:

https://www.wolframalpha.com/input?i=%7B%7B1%2C1%7D%2C%7B0%2C2%28z-x…