Die Randkurve mit Hilfe des Satz von Stokes berechnen

Question

Aufgabe:

[Integralsatz von Stokes] Gegeben sei die Fläche
$F:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{1}+x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq 4\right\} .$

Die Orientierung sei so gewählt, dass der Flächennormalenvektor $n\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ an $F$ eine positive $x_{3}$-Komponente hat. Das Vektorfeld $v: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ sei definiert durch
$v\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right):=\left(x_{1}+x_{2}, x_{2}, x_{3}\right) .$

Berechnen Sie für die Randkurve $\gamma$ von $F$
$\int \limits_{\gamma} v \cdot \mathrm{d} x$
a) direkt.
b) mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes.

Problem/Ansatz:

Hallo Leute,

Habt ihr vielleicht eine Ahnung, wie man diese Aufgabe lösen kann?!

Ich weiß schon wie man Kurvenintegral berechnet oder was Satz von Stokes ist, aber bei dieser Aufgabe bin ich nicht sicher, was ich genau tun soll.

Z.B. bei Satz des Stokes muss man die Rotation von der Funktion und dann der Normalenvektor berechnen. (Fluss Berechnung)

Könnt ihr vielleicht mir ein paar tips geben, wie man Teil a) und b) lösen kann?

Danke schonmal

Comments

Wenn Du weißt  wie man ein Kurvenintegral berechnet, dann berechne doch das geforderte Kurvenintegral.

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Ja aber hier steht kleiner gleich 4. Deswegen war ich nicht sicher, wie ich das machen soll. Was ist der unterschied zw. Kleiner gleich, größer gleich und gleich in diesem Fall?

Soll ich für Kurvenvektor (2cos (t), 2sin (t), 2(cos (t)+ sin(t)) nehmen?

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\(x_1^2+x_2^2 \leq 4\ beschreibt einen Kreis - genauer die Kreisscheibe (Rand und Inneres) mit Mittelpunkt 0 und Radius 2.

Die Fläche F ist eine Ebene - und zwar nur der Ausschnitt der über dem angegebenen Kreis liegt.

Für die Randkurve kannst Du Deine Parametrisierung verwenden.

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Danke für die Rückmeldung.
Bei b) muss man die Rotation von F mit dem Normalenvektor multiplizieren. Ich habe für n, (0,0,1) und für die zwei Intervalle (0,2pi) und (0,4) genommen. Sind die richtig oder habe ich etwas falsch verstanden?

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Wenn Du mal kurz überlegst, wie eine Ebene geometrische "aussieht", deren Normalenvektor (0,0,1) ist, wirst Du sehen, dass das nicht stimmen kann.

Wie sieht denn Deinen Parametrisierung für die Fläche F aus.?

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Meine Parametrsierung von F ist (2cos(t), 2sin(t), 2(cos(t)+sin(t))). Bin mir nicht sicher ob das richtig ist. Was wäre in diesem der beste Weg der normalenvektor auszurechnen?

Waren meine Intervalle richtig oder stimmen sie auch nicht?

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aren meine Intervalle richtig oder stimmen sie auch nicht?

Das kann man zwar ahnen, aber wissen kann man es nur, wenn Du Deine Parametrisierung für F angibst. Was Du gerade hingeschrieben hast, ist enthält nur einen Parameter und ist die Parametrisierung des Randes. Überlege, warum Du weiter oben eine 2. Intervall (0,4) angegeben hast. Wofür wird das benötigt?

Den Normalenvektor berechnet man aus der Parametrisierung.

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Wenn das nur die Parametrisierung des Randes ist, wie kann man die Parametrisierung von F berechnen?

Weil alles was ich wusste war das Parametrisierung für eine Fläche lR³, (r cos(t), r sin(t), z) ist.

Das Intervall ist glaube ich falsch, da es bis r oder 2 laufen soll. Dann soll das (0,2) sein. Mir fällt es gerade leider nicht mehr ein.

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Die Parametrisierung ist

$$P:[0,2 \pi] \times [0,2] \to \R^3, P(t,r):=\begin{pmatrix} r \cos(t) \\ r \sin(t) \\ r\cos(t)+r\sin(t)\end{pmatrix}$$

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Erstmal wollte ich mit dieser Parametrisierung weiter rechnen, aber dann dachte, dass r=2 ist. Deswegen habe ich statt r, 2 geschrieben.

Bitte sag mir, wenn es noch etwas gibt, die ich auf achten soll (was ich noch nicht erwähnt habe).

Vielen Dank für deine bisherige Hilfe.

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Ich denke, jetzt könntest Du mal rechnen....

Answer 1

Aloha :)

Du hast dieselbe Frage ein weiteres Mal gepostet, weil du beim ersten Posting "leider keine hilfreichen Antworten" bekommen hast. Ich antworte dir auf dieses, dein erstes Posting und lasse dein zweites Posting löschen, damit wir die Frage nicht doppelt im System haben.

Wie haben eine Punktemenge $F$ und ein Vektorfeld $\vec v$ gegeben:$$F=\{(x;y;x+y)\in\mathbb R^3\,\big|\,x^2+y^2\le4\}\quad;\quad\vec v(\vec r)=\begin{pmatrix}\red x+\green y\\\green y\\\pink z\end{pmatrix}$$Zur Berechnung der gewünschten Integrale brauchen wir einen Ortsvektor $\vec r$, der alle Punkte der Fläche $F$ abtastet. Dazu wählen wir Polarkoordinaten und vereinbaren$$\vec r=\begin{pmatrix}\red x\\\green y\\\pink z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\red{r\cos\varphi}\\\green{r\sin\varphi}\\\pink{r\cos\varphi+r\sin\varphi}\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad \varphi\in[0;2\pi]$$Diese Parametrisierung erfüllt die Bedingung für die Zugehörigkeit zu $F$, denn:$$\red x^2+\green y^2=(\red{r\cos\varphi})^2+(\green{r\sin\varphi})^2=r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=r^2\le4\quad\checkmark$$

Wir sollen nun das Wegintegral entlang der Randkurve von $F$ durch das Kraftfeld $\vec v$ bestimmen. Physikalisch liefert das die Energie, die dabei aufzuwenden ist.

1) Direkte Berechnung

Den Rand erhalten wir, indem wir $r=2$ festhalten. Der Vektor $\vec r$ hängt dann nur noch vom Polarwinkel $\varphi$ ab:$$E=\int\limits_{\partial F}\vec v(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\vec v(\vec r(\varphi))\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}\red{2\cos\varphi}+\green{2\sin\varphi}\\\green{2\sin\varphi}\\\pink{2\cos\varphi+2\sin\varphi}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\red{-2\sin\varphi}\\\green{2\cos\varphi}\\\pink{-2\sin\varphi+2\cos\varphi}\end{pmatrix}d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}((-4\sin\varphi\cos\varphi-4\sin^2\varphi)+4\sin\varphi\cos\varphi+(4\cos^2\varphi-4\sin^2\varphi))d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(4\cos^2\varphi-8\sin^2\varphi)d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(4-12\sin^2\varphi)d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(4-12\left(\frac12-\frac12\cos(2\varphi)\right)\right)d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(-2+6\cos(2\varphi)\right)\,d\varphi=-4\pi$$

2) Indirekte Berechnung

Wir verwenden den Satz von Stokes und berechnen das Flächenintegral von$$\operatorname{rot}\vec v(\vec r)=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x+y\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}$$über der Punktmenge $F$. Dazu brauchen wir das Flächenelement in Polarkoordinaten:$$d\vec f=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial r}dr\right)\times\left(\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}d\varphi\right)=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\\cos\varphi+\sin\varphi\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\-r\sin\varphi+r\cos\varphi\end{pmatrix}\,dr\,d\varphi$$

Da wir im Integranden die Rotation des Vektorfeldes mit dem Flächenelement multiplizieren und die ersten beiden Komponenten der Rotation verschwinden, brauchen wir nur die dritte Koordinate von $d\vec f$ zu bestimmen:$$d\vec f=\begin{pmatrix}\text{egal}\\\text{egal}\\r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi\end{pmatrix}dr\,d\varphi=\begin{pmatrix}\text{egal}\\\text{egal}\\r\end{pmatrix}dr\,d\varphi$$

Damit können wir das gesuchte Integral formulieren:$$E=\iint\limits_{F}\operatorname{rot}\vec v(\vec r)\,d\vec f=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\text{egal}\\\text{egal}\\r\end{pmatrix}\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}-r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{r=0}^2(-r)\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi=\left[-\frac{r^2}{2}\right]_0^2\cdot\left[\varphi\right]_0^{2\pi}=(-2)\cdot2\pi=-4\pi$$

Comments

Vielen Dank für deine Antwort und dafür, dass du mir die Lösung gezeigt hast.
Ich bin relativ neu hier und wusste nicht, wie diese Seite funktioniert, und dachte, ich könnte nur eine Antwort bekommen. Natürlich hatte ich noch mehr Fragen und dachte, niemand würde auf meinen Kommentar antworten. Deshalb habe ich die Aufgabe zweimal gepostet, aber später hatte Mathhilf geantwortet und die Antworten waren recht hilfreich und ich konnte verstehen, wie es weitergehen soll.
Dann wollte ich die zweite Frage selbst löschen, aber das hat nicht funktioniert.
Es tut mir leid wegen der Umstände.