Lösen von Gleichungssystemen, Schwierigkeiten!

Question

Aufgabe:

u, v ∈ℝ seien Lösung des Gleichungssystems

u + v = 1

u² + v² = 2

a) Eine Lösung des Gleichungssystems ist u= [   ] > 0, v= [    ] < 0

b) für jede der Lösungen des Gleichungssystems gilt u^11 + v^11 = \( \frac{...}{...} \) (Angabe des Bruches mit natürlichen Zahlen in gekürzter Form erforderlich.)

Da ist auch ein Tipp (verstehe den aber nicht): Leiten Sie aus dem Gleichungssystem eine Gleichung der Form u^2 = au+b mit geeigneten a,b ∈ℝ her und nutzen Sie diese zur sukzessiven Bestimmung von u^4 und u^8.

Problem/Ansatz:

Habe keine Ahnung wie ich starten soll und was ich rechnen soll.

Gerne Tipps oder die Aufgaben lösen mit ordentlicher Erklärung. Einfach so abschreiben möchte ich nicht sondern daraus lernen.

Bin dankbar für jegliche Hilfe!

Answer 1

a) u+v = 1

v= 1-u

u^2+ (1-u)^2 = 2

u^2+1-2u+u^2= 2

2u^2-2u-1 = 0

u^2-u -1/2 = 0

pq-Formel:

...

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung.

Answer 2

a) Eine Lösung des Gleichungssystems ist u= \( \frac{1+\sqrt{3}}{2} \) > 0, v= \( \frac{1-\sqrt{3}}{2} \) < 0

b) u¹¹ + v¹¹ =\( \frac{989}{32} \)

Zum Tipp: Berechne u²=\( \frac{\sqrt{3}+2}{2} \) und dann (u²)²=u⁴=\( \frac{7+4·\sqrt{3}}{4} \), dann (u⁴)²)=u⁸= \( \frac{56\sqrt{3}+97}{16} \) und dann u⁸·u²·u=u¹¹. Alles mit einer binomischem Formel.

Danach das gleiche für v und addiere die beiden Ergebnisse.

Comments

Leiten Sie aus dem Gleichungssystem eine Gleichung der Form u2 = au+b mit geeigneten a,b ∈ℝ her und nutzen Sie diese zur sukzessiven Bestimmung von u4 und u8.

Um wie sähe es damit aus?

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Genügt dir das nicht?

u²=\( \frac{\sqrt{3}+2}{2} \)

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Danke für die Hilfe, habe das jetzt verstanden!

Answer 3

Man kann die zwei gegebenen Gleichungen mehrmals ausnutzen, um ohne Wurzeln den gesuchten Wert aus b) direkt auszurechnen.

(1): $$1= (u+v)^2 = u^2+v^2 +2uv =2 + 2uv$$$$ \Rightarrow \boxed{uv = -\frac 12}$$

Nun gilt weiterhin

(2): $$(u^5+v^5)(u^6+v^6)= u^{11}+ v^{11} + (uv)^5(u+v)$$$$\Rightarrow \boxed{u^{11}+ v^{11} = (u^5+v^5)(u^6+v^6) + \frac 1{32}}$$Wir brauchen nur noch

(3): $$2\cdot 1 = (u^2+v^2)(u+v) = u^3+v^3 + (uv)(u+v)$$$$\Rightarrow \boxed{u^3+v^3 = 2+\frac 12 =\frac 52}$$

Damit erhalten wir

(4): $$(u^3+v^3)^2 = u^6+v^6 + 2(uv)^3 $$$$\Rightarrow \boxed{u^6+v^6 = \frac{25}4 + \frac 14 = \frac{13}2}$$
(5): $$\frac 52 \cdot 2 = (u^3+v^3)(u^2+v^2) = u^5+v^5 + (uv)^2(u+v) $$$$\Rightarrow \boxed{u^5+v^5 = 5 - \frac 14 = \frac{19}4}$$
Einsetzen in (2) gibt

$$\boxed{u^{11}+ v^{11} = \frac{19}4\cdot \frac{13}2+ \frac 1{32} = \frac{989}{32}}$$

Nachtrag zum Teil a):
Wir wissen, dass \(u+v=1\) und \(uv = -\frac 12\). Laut Vieta sind dann \(u,v\) die Lösungen der quadratischen Gleichung: $$x^2 - (u+v)x + uv= x^2-x-\frac 12 = 0$$ Lösen und Teil a) ist fertig.