Zeigen Sie, das f^g ∈ C^k (I) gilt. // Zeigen Sie h ∈ C^∞((0, +∞)) und bestimmen Sie h′(x).

Question

Aufgabe:

(a) Seien ⊂ ℝ ein Intervall, f, g ∈ C^k (I), k ∈ ℕ, mit f > 0 auf I gegeben und f^g = exp(g log f ) ∶ I → ℝ erklärt.
Zeigen Sie, dass dann auch f^g ∈ C^k (I) gilt.

(b) Sei h(x) ∶= \( x^{(x^x)} \) ∶ (0, +∞) → ℝ erklärt. Zeigen Sie h ∈ C^∞((0, +∞)) und bestimmen Sie h′(x), x ∈ (0, +∞).

Bitte um Hilfe und Erklärungen.

Comments

Du kannst die Ableitung von f^g nach den einschlägigen Ableitungsregeln berechnen.

Answer 1

b) h(x) = e^(x^x*lnx)

Es gilt:

f(x) = e^(g(x))  -> f'(x) = e^(g(x)) * g'(x)

g'(x):

Produktregel:

u= x^x = e^(x*lnx) -> u' =

v= lnx -> v' =