Symmetrie bei Funktionsgraphen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

9 Für welche reelle Zahl t ist der Graph von f symmetrisch zur \( y \)-Achse bzw. zum Ursprung? Begründen Sie.
a) \( f(x)=x^{3}+t \)
b) \( f(x)=x^{2}+t \)
c) \( f(x)=(x+t)^{2} \)
d) \( f(x)=\left(x^{2}+t\right) \cdot x^{3} \)
e) \( f(x)=(x-t)(x+1) \)
f) \( f(x)=x^{t}-x \)

Problem/Ansatz:

Kann mir das bitte jemand erklären?

Answer 1

Ich habe mal den Titel angepasst.

Symmetrie zur y-Achse wenn gilt f(x)=f(-x) für alle x.

a) (1)  Symmetrie zur y-Achse wenn gilt f(x)=f(-x) für alle x.

 \( f(x)=x^{3}+t \)  und  \( f(-x)=-x^{3}+t \)

Wenn das immer gleich sein soll

            \( x^{3}+t = -x^{3}+t \)

<=>     \( 2x^{3} = 0\)

Gilt nie für alle x∈ℝ, also hier für kein t erfüllt.

a) (2) Symmetrie zum Ursprung wenn gilt f(x)=-f(-x) für alle x.

\( f(x)=x^{3}+t \)  und \( -f(-x)=x^{3}-t \)

       Wenn das immer gleich sein soll
            \( x^{3}+t = x^{3}+t \)

Das gilt offenbar nur für t=0. Also:

Bei t=0 Symm. zum Ursprung.

So ähnlich die anderen.

Answer 2

Erst Klammern auflösen, dann Exponenten anschauen.

Symmetrie zur x-Achse liegt (bei Polynomfunktionen) immer genau dann vor, wenn die Variable im Funktionsterm nur gerade Exponenten hat (t=t·x⁰).

Symmetrie zum Ursprung liegt (bei Polynomfunktionen) immer genau dann vor, wenn die Variable im Funktionsterm nur ungerade Exponenten hat.