Es seien x, y \in \mathbb{R}2 und \tilde{d}: \mathbb{R}2 \times \mathbb{R}2

Question

Aufgabe . Es seien $x, y \in \mathbb{R}^{2}$ und $\tilde{d}: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ gegeben durch
$\tilde{d}(x, y):=\left\{\begin{array}{cl} \|x-y\| & \text { wenn } x, y \text { und }(0,0) \text { auf derselben Geraden liegen } \\ \|x\|+\|y\| & \text { sonst, } \end{array}\right.$
wobei für $x=\left(x_{1}, x_{2}\right)$ gilt $\|x\|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$. Dabei bezeichnet $\|x\|$ die übliche euklidische Norm auf $\mathbb{R}^{2}$, d. h. $\|x-y\|=d(x, y)$ ist der übliche euklidische Abstand im $\mathbb{R}^{2}$.
(i)  Zeigen Sie, dass das so definierte $\tilde{d}$ tatsächlich eine Metrik auf $\mathbb{R}^{2}$ ist.
(ii)  Berechnen Sie für die Folge $x_{n}=\left(2^{-n}, 1\right)$ und den Punkt $x=(0,1)$ die Grenzwerte $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \tilde{d}\left(x_{n}, x\right)$ und $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} d\left(x_{n}, x\right)$.

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Answer 1

Google nach "Französische Eisenbahnmetrik".