Bei deinem Ansatz darfst du für die zweite Zahl nicht nochmal \(k\) verwenden. Also $$9n+5=2k \text{ und } 3n+2 = 2l+1$$
Nun kannst du so vorgehen. Ich zeige nur die Richtung \(\Rightarrow\):
$$3n+2 = 2k +(-6n - 3) = 2\cdot \underbrace{(k -3n -2)}_{=l} + 1$$
Die Rückrichtung geht analog.
Falls du modulare Arithmetik verwenden darfst, geht alles viel schneller:
$$\begin{array}{rcll} 9n + 5 & \equiv & n+1 & \mod 2 \\ 3n+2 & \equiv & n & \mod 2\end{array}$$
Nun haben wir
$$n+1\equiv 0 \mod 2 $$ $$\Leftrightarrow$$$$ n \equiv -1 \equiv 1 \mod 2$$
Das ist genau die Behauptung. Denn da steht (in modularer Arithmetik ausgedrückt):
\(9n+5\) ist gerade genau dann, wenn \(n+1\) gerade ist; genau dann, wenn \(n\) ungerade ist; genau dann, wenn \(3n+2\) ungerade ist.
