Wie könnte ich dies beweisen?

Question

Aufgabe:

Beweise folgende Aussage:

Sei n ∈ Z: Genau dann wenn 9n + 5 gerade ist, ist 3n + 2 ungerade.

Problem/Ansatz:

Wie könnte ich dies beweisen? Man muss es denk ich mal irgendwie in Hin- und Rückrichtung beweisen, aber meine Frage ist wie.
Mein Ansatz bisher war:
9n+5=2k
3n+2 = 2k+1
Das habe ich auch schon formalisiert, aber wie führe ich den Beweis dann richtig durch?

Answer 1

Bei deinem Ansatz darfst du für die zweite Zahl nicht nochmal $k$ verwenden. Also $$9n+5=2k \text{ und } 3n+2 = 2l+1$$

Nun kannst du so vorgehen. Ich zeige nur die Richtung $\Rightarrow$:

$$3n+2 = 2k +(-6n - 3) = 2\cdot \underbrace{(k -3n -2)}_{=l} + 1$$

Die Rückrichtung geht analog.

Falls du modulare Arithmetik verwenden darfst, geht alles viel schneller:

$$\begin{array}{rcll} 9n + 5 & \equiv & n+1 & \mod 2 \\ 3n+2 & \equiv & n & \mod 2\end{array}$$

Nun haben wir

$$n+1\equiv 0 \mod 2$$ $$\Leftrightarrow$$$$n \equiv -1 \equiv 1 \mod 2$$

Das ist genau die Behauptung. Denn da steht (in modularer Arithmetik ausgedrückt):
$9n+5$ ist gerade genau dann, wenn $n+1$ gerade ist; genau dann, wenn $n$ ungerade ist; genau dann, wenn $3n+2$ ungerade ist.

Comments

Woher kommt beim oberen Beweis, das (-6n-3)?

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Addiere es mal zur anderen Seite. Dann siehst du es.

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Aber was genau hast du bei der Umformung alles gemacht.

Weil man hat ja

9n+5=2k und 3n+2=2l+1.

Muss man jetzt 3n+2 = 9n+5 nur umformen? Weil da fehlt ja dann das 2k und das 2l+1

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Wir sind hier in der Beweisrichtung $\Rightarrow$.
Nicht mit der Rückrichtung vermischen. Die hab ich für dich übrig gelassen.

Es ist $9n+5 = 2k$. Wir wollen zeigen, dass dann $3n+2 = 2l+1$ - wie auch immer das $l$ aussehen wird.

Also müssen wir erst einmal aus $9n+5$ ein $3n+2$ herauszaubern.

Dass machen wir, indem wir $9n+5$ zerlegen:

$9n+5 = 3n+2 + 6n+3$

Jetzt bringen wir die $6n+3$ auf die andere Seite und hoffen, durch geschicktes Umformen das $l$ zu finden.

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Ah das zerlegen habe ich übersehen. Danke, jetzt sollte es klappen