ich habe Schwierigkeiten mit folgenden Aufgaben. Ich habe jegliche Ansätze versucht, komme jedoch nicht weiter. Kann mir jemand bitte weiterhelfen ?
b) Zeigen Sie mit Induktion nach \( n \) : Ist \( \varepsilon>0 \) und \( y \in \mathbb{R}^{n} \), dann ist jedes Element des Hyper-Würfels
\( W_{n}:=\left\{x \in \mathbb{R}^{n}:-\varepsilon \leq x_{i}-y_{i} \leq \varepsilon, \forall i=1, \ldots, n\right\} \)
eine Konvexkombination der Familie der Eckpunkte \( y+\{-\varepsilon, \varepsilon\}^{n} \).
Es sei \( A \subseteq \mathbb{R}^{n} \) nichtleer, offen und konvex. Zeigen Sie, dass jede konvexe Funktion \( f: A \rightarrow \mathbb{R} \) stetig ist. Gehen Sie dazu für beliebiges \( y \in A \) wie folgt vor:
a) Begründen Sie mit einem kurzen Satz, dass für hinreichend kleines \( \bar{\delta}>0 \) der Würfel \( Q_{\bar{\delta}}(y):=\left\{x \in \mathbb{R}^{n}:-\bar{\delta} \leq x_{i}-y_{i} \leq \bar{\delta}, \forall i=1, \ldots, n\right\} \) in \( A \) liegt.
c) Sei insbesondere \( \delta<\min \{1, \bar{\delta}\} \) und \( x \in B_{\delta}(y) \subseteq Q_{\bar{\delta}}(y) \) beliebig. Geben Sie \( z_{1}, z_{2} \) mit
\( \begin{array}{l} y=\frac{\|x-y\|}{\|x-y\|+\bar{\delta}} \cdot z_{1}+\frac{\bar{\delta}}{\|x-y\|+\bar{\delta}} \cdot x \\ x=\frac{\|x-y\|}{\bar{\delta}} \cdot z_{2}+\frac{\bar{\delta}-\|x-y\|}{\bar{\delta}} \cdot y \end{array} \)
in Abhängigkeit von \( x, y \) an. Verifizieren Sie, dass \( z_{1}, z_{2} \in Q_{\bar{\delta}}(y) \). Finden Sie damit, der Konvexität von \( f \) und mit b) obere und untere Schranken an \( f(x)-f(y) \), die nur von \( f(y), M, \delta \) und \( \bar{\delta} \) abhängen.
Zur Kontrolle: \( \frac{\delta}{\delta}(f(y)-M) \leq f(x)-f(y) \leq \frac{\delta}{\delta}(M-f(y)) \).
d) Folgern Sie Stetigkeit von \( f \) in \( y \) aus c) mit Hilfe der \( \varepsilon \) - \( \delta \)-Definition.
Es wäre sehr hilfreich, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Danke
