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Ich muss zeigen, dass f(x)>0 für x>0

 

f(x) = log(1+1/x) - 1/(x+1)
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Folgende Betrachtungen gelten für x > 0

f(x) = ln(1+1/x) - 1/(x+1)

lim x→0+ ln(1+1/x) - 1/(x+1) = ln(1+1/0) - 1/(0+1) = ln() - 1 = 

lim x∞ ln(1+1/x) - 1/(x+1) = ln(1+1/) - 1/(+1) = ln(1) - 0 = 0

Der Graph verläuft also von ∞ nach 0.

Schauen wir uns die Steigung an und bilden f '(x)

f '(x) = 1/(1 + 1/x) * (-1/x^2) + 1/(x + 1)^2 = -1/(x^2 + x) + 1/(x + 1)^2 = -1/(x·(x + 1)^2)

Die Ableitung ist immer negativ weshalb der Graph immer fallend ist. 

Der Graph fällt also von ∞ und hat den Grenzwert 0. D.h. erreicht den Grenzwert nie.

Daher ist die Funktion immer > 0.

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