Basis einer Teilmenge im R3 bestimmen

Question

Aufgabe:

$${A} =\bigg\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\in \mathbb{R^3}:-2x+4y-8z=0\bigg\} \subset\mathbb{R^3}$$

Wie bestimme ich zu solchen Teilmengen eine zugehörige Basis?

Answer 1

Du musst dir überlegen wie die Lösungen der Gleichung aussehen.

Du hast eine lineare Gleichung mit 3 Variablen, also kannst du

2 davon frei wählen, etwa y und z und löst dann nach x auf

-2x+4y-8z=0

<=>  x -2y + 4z = 0

<=> x = 2y -4z.

Dann sehen die Lösungen alle so aus:

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2y-4z\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2y\\y\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4z\\0\\z \end{pmatrix}=y\begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix} -4\\0\\1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} -4\\0\\1 \end{pmatrix}$ sind linear unabhängig, bilden also eine

Basis des Lösungsraumes.