Aufgabe:
Aufgabe \( 4(1+1+1+1 \) Punkte)
Es sei \( (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
1. Es seien \( A, B \in \mathcal{F} \) zwei unabhängige, disjunkte Ereignisse. Zeigen Sie, dass \( \mathbb{P}(A)=0 \) oder \( \mathbb{P}(B)=0 \).
2. Es sei \( A \in \mathcal{F} \) ein Ereignis, das unabhängig zu sich selbst ist. Zeigen Sie, dass \( \mathbb{P}(A)=0 \) oder \( \mathbb{P}(A)=1 \).
3. Es seien \( A, B, C \in \mathcal{F} \) unabhängige Ereignisse mit \( \mathbb{P}(A \cap B) \neq 0 \). Zeigen Sie, dass
\( \mathbb{P}(C \mid A \cap B)=\mathbb{P}(C) . \)
4. Es seien \( A, B \in \mathcal{F} \) Ereignisse mit \( \mathbb{P}(A)>0 \). Zeigen Sie, dass \( \mathbb{P}(A \cup B)>0 \) und
\( \mathbb{P}(A \cap B \mid A \cup B) \leq \mathbb{P}(A \cap B \mid A) . \)
Problem/Ansatz:
War leider heute nicht in der Vorlesung brächte hierfür Hilfe, danke im Voraus!
