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In dem Diagramm bilden die beiden Schenkel des rechtwinkligen Dreiecks ABC die Durchmesser der beiden Halbkreise.

dreieck halbkreise

a) Bestimmen Sie die Gesamtfläche der schattierten Bereiche (farbige Regionen).

b) Beweisen Sie (wie in der Zeichnung gezeigt), dass ein Schnittpunkt der zwei Halbkreise auf der Hypotenuse liegt.

Gefragt von

Zeichne die Höhe hc ein.

Das grüne Gebiet erhältst du aus des Summe aus 

Halbkreis über AC Minus Dreieck AHcC

und 

Halbkreis über BA Minus Dreieck BCHc

Gibt vereinfacht

Halbkreis über AC + Halbkreis über BC minus Dreieck ABC

= π15^2/ 2 + π 20^2/2 - 30*40/2

Bei b) ist die Frage, was ihr voraussetzen dürft. Kennst du z.B. den Thaleskreis?

PS. Diese Halbkreise nennt man nicht 'einbeschrieben', da sie über das Dreieck hinausragen.

Ich habe keine Einschränkung bei der Wahl der mathematischen Mittel!

1 Antwort

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Beste Antwort

a)

 

Zeichne die Höhe hc ein.

Das grüne Gebiet erhältst du aus des Summe aus 

Halbkreis über AC Minus Dreieck AHcC

und 

Halbkreis über BA Minus Dreieck BCHc

Gibt vereinfacht

Halbkreis über AC + Halbkreis über BC minus Dreieck ABC

= π152/ 2 + π 202/2 - 30*40/2

Bei b) ist die Frage, was ihr voraussetzen dürft. Kennst du z.B. den Thaleskreis?

b) Habe keine Einschränkung bei der Wahl der mathematischen Mittel!

So wird mein 'Beweis' allerdings recht kurz:

30^2 + 40^2 = 50^2. Daher ist das Dreieck ABC rechtwinklig. (Habe ich bei a) schon benutzt.

Hc liegt auf dem Thaleskreis über AC und über BC. Da Hc auf der Hypotenuse c liegt schneiden sich die beiden Thaleskreise auf der Hypotenuse c.

Beantwortet von 142 k
@Lu

Die Lösungen gefallen mir gut da aus nur wenigen
Einsichten abgeleitet.

zu b.) mir fiel auch noch Beweis ein :
Das Dreieck A-Hc-C muß im Punkt Hc einen
rechten Winkel haben ( Thaleskreis )
Das Dreieck B-Hc-C muß im Punkt Hc einen
rechten Winkel haben.
Beide Winkel ergeben 180 °. Die Strecke AB
ist also eine Gerade.
mfg Georg
Gute Ergänzung. Besten Dank!

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