Bestimmen Sie alle Lösungen z ∈ ℂ der Gleichung - Lösungsweg gesucht

Question

Aufgabe:

(b) Bestimmen Sie alle Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der Gleichung

$z+\frac{i}{2 z}+e^{i \frac{\pi}{4}}=0 .$

Geben Sie ihre Lösungen in Koordinaten-, oder in Eulerdarstellung an.

Text erkannt:

(b) Bestimmen Sie alle Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der Gleichung
$z+\frac{i}{2 z}+e^{i \frac{\pi}{4}}=0 .$

Geben Sie ihre Lösungen in Koordinaten-, oder in Eulerdarstellung an.

Problem/Ansatz:

Ansatz:

1. Euler-Darstellung in Koordinatenform umformen

2. mit z multiplizieren

3. mit der pq-Formel auflösen

4. Problem: Die Wurzel innerhalb der pq-Formel wird (bei mir) zu $\sqrt{\frac{1}{2}*i }$ und da weiß ich leider nicht weiter.

Answer 1

$z+\frac{i}{2 z}+e^{i \frac{\pi}{4}}=0$

$2z^2+ i +2ze^{i \frac{\pi}{4}}=0$

$2z^2+ i +2ze^{i \frac{\pi}{4}}=0$

$z^2 +z(\frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{\sqrt{2}}{2} i)+ \frac{i}{2}=0$

$z_{1,2} = -( \frac{\sqrt{2}}{4} +\frac{\sqrt{2}}{4} i) \pm \sqrt{( \frac{\sqrt{2}}{4} +\frac{\sqrt{2}}{4} i)^2 - \frac{i}{2}}$

$= -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} i \pm \sqrt{( \frac{2}{16}+\frac{4}{16} i -\frac{2}{16} ) - \frac{i}{2}}$
$= -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} i \pm \sqrt{ -\frac{1}{4} i}$
$= -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} i \pm \frac{1}{2} \sqrt{ -i }$

Und für eine solche Wurzel gilt   $\sqrt{ -i } = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$
Kannst du ausrechnen über den Ansatz $= (a+bi)^2 = -i$

Comments

Vielen Lieben dank <3

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Und für eine solche Wurzel gilt   $\sqrt{ -i } = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$

Und das stimmt eben so nicht. Richtig ist, dass man die LösungEN der Gleichung $x²=-i$ über den genannten Ansatz berechnen kann, es gibt eben zwei Lösungen und keine davon ist gegenüber der anderen bevorrechtigt $\sqrt{-i}$ genannt werden. Daher sollte man eben das Wurzelzeichen hier nicht verwenden, ist schlicht nicht definiert.

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---Gelöscht---

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@nudger Die Lösung ist erstmal laut ehemaliger Klausur Lösungen richtig. Hast du noch einen anderen Ansatz, der besser geeignet wäre?

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Wie gesagt, das Wurzelzeichen ist hier nicht definiert und sollte gemieden werden. Sauber wäre es, wenn Du schreiben würdest:

$z_{1,2}=... \pm x$, wobei $x²=$ (Kram unter Wurzel) $=-\frac14i$.

Das gesuchte $x$ kannst Du zum einen über den von mathef genannten Ansatz bestimmen ($(a+b\,i)² =-i$), oder Du gehst den Weg über die Polarform:

$-i=e^{\frac32\pi i}$, also (Winkel halbieren, rückumwandeln) $a+b\,i=\pm e^{\frac34\pi i}=\pm \frac1{\sqrt2}(-1+i)$. Die Umwandlungen gehen hier ohne TR, Skizze und Pythagoras reicht.

Damit ist $z_{1,2}=... \pm \frac12 \frac1{\sqrt2}(-1+i)$.

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Wenn du mir noch eine Frage beantworten könntest: Was wäre denn dann die Wurzel von i?

$\sqrt{i}=\sqrt{\frac{2i}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2i}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1+2i-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1+2i+i^2}\\=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(i+1)^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}*(i+1)$ 

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Auch da greift der obige Einwand.

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Auch da greift der obige Einwand.

Wolfram findet die Lösung korrekt:

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Ich weiß, heißt aber nichts. Wie ist denn die Def. des Wurzelzeichens für negative oder komplexe Radikanden?

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Wenn man das unbedingt wollte, könnte man von allen

x∈ℂ, für die x² =z gilt, definieren  x=√z ist dasjenige x

mit dem kleinsten nicht negativen Argument.

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Man sollte das machen, bevor man damit rechnet. Das ist eine mögliche Definition von mehreren möglichen und die daraus resultierenden Rechenregeln sind unklar. Meines Wissens nach gibt es keine verbreitete Def., daher frag ich ja, welche Ihr hier verwendet habt.