Aloha :)
Die gegebene Voraussetzung bedeutet, dass jedes Element \(g\in(G,\ast)\) zu sich selbst invers ist, d.h. \(g=g^{-1}\). Daher schlage ich vor, dass wir uns überlegen, wie das Inverse Element zu \(a\ast b\) aussieht, wobei natürlich \(a,b\in(G,\ast)\) gelten soll. Wir setzen dazu \(x\coloneqq(a\ast b)^{-1}\) und berechnen:
$$\left.x\ast(a\ast b)=e\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.(x\ast a)\ast b=e\quad\right|\;\ast b^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.((x\ast a)\ast b)\ast b^{-1}=b^{-1}\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.(x\ast a)\ast (b\ast b^{-1})=b^{-1}\quad\right|\;(b\ast b^{-1})=e$$$$\left.x\ast a=b^{-1}\quad\right|\;\ast a^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.(x\ast a)\ast a^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.x\ast (a\ast a^{-1})=b^{-1}\ast a^{-1}\quad\right|\;(a\ast a^{-1})=e$$$$x=b^{-1}\ast a^{-1}$$
Damit sind wir fertig, denn:$$a\ast b=(a\ast b)^{-1}=x=b^{-1}\ast a^{-1}=b\ast a$$
