Bestimmen Sie für n≥3 n \geq 3 n≥3 die Partialsumme sn=∑k=3n(25)k s_{n}=\sum \limits_{k=3}^{n}\left(\frac{2}{5}\right)^{k} sn=k=3∑n(52)k der Reihe s=∑k=3∞(25)k s=\sum \limits_{k=3}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{k} s=k=3∑∞(52)k. Berechnen Sie den Wert der Reihe, indem Sie den Grenzwert s=limn→∞sn s=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} s_{n} s=n→∞limsn berechnen.sn=?s=? \begin{array}{l} s_{n}=? \\ s=? \end{array} sn=?s=?
sn=∑k=3n(25)k s_{n}=\sum \limits_{k=3}^{n}\left(\frac{2}{5}\right)^{k} sn=k=3∑n(52)k n≥3
sn=∑k=0n(25)k−(25)2−(25)1−(25)0 s_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\frac{2}{5}\right)^{k} -\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-\left(\frac{2}{5}\right)^{1}-\left(\frac{2}{5}\right)^{0} sn=k=0∑n(52)k−(52)2−(52)1−(52)0
=(25)n+1−125−1−(25)2−(25)1−(25)0=\frac{(\frac{2}{5})^{n+1}-1 }{\frac{2}{5}-1 } -\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-\left(\frac{2}{5}\right)^{1}-\left(\frac{2}{5}\right)^{0} =52−1(52)n+1−1−(52)2−(52)1−(52)0
=(25)n+1−1−35−425−25−1=\frac{(\frac{2}{5})^{n+1}-1 }{-\frac{3}{5} } -\frac{4}{25}-\frac{2}{5}-1 =−53(52)n+1−1−254−52−1
Für n gegen ∞ ist der Grenzwert
s=−1−35−425−25−1=53−425−25−1s=\frac{-1 }{-\frac{3}{5} } -\frac{4}{25}-\frac{2}{5}-1=\frac{5}{3} -\frac{4}{25}-\frac{2}{5}-1 s=−53−1−254−52−1=35−254−52−1
=12575−1275−3075−1=875 =\frac{125}{75} -\frac{12}{75}-\frac{30}{75}-1=\frac{8}{75} =75125−7512−7530−1=758
ich verstehe nicht, wie man auf 2/5n+1 -1/(2/5 -1) kommt.
Das ist die Summenformel für die geometrische Reihe.
siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Berechnung_der_(end…
ah, alles klar. Vielen dank,
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