Aloha :)
In der ersten Summe finden wir die Potenzreihe \(\;e^y=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{y^k}{k!}\;\) mit \(\:y\coloneqq\frac xe\;\) wieder und können daher direkt einen geschlossenen Term hinschreiben:$$S_1(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{e^{-k}}{2k!}x^{k+2}={\color{blue}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac12\cdot \frac{e^{-k}}{k!}x^{k}\cdot x^2}=\frac{x^2}{2}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\left(\frac xe\right)^k}{k!}=\frac{x^2}{2}e^{x/e}$$Der Konvergenzradius ist daher unendlich.
Wenn du die \(\color{blue}\text{blaue Summe}\) etwas umschreibst$$S_1(x)=\frac{x^2}{2}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{e^kk!}x^k=\frac{x^2}{2}\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k\quad;\quad a_k\coloneqq\frac{1}{e^kk!}$$kannst du den Konvergenzradius auch direkt bestimmen:$$r_1=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{e^kk!}}{\frac{1}{e^{k+1}(k+1)!}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{e^{k+1}(k+1)!}{e^kk!}=e\cdot\lim\limits_{k\to\infty}(k+1)=\infty$$
Für die zweiten Summe$$S_2(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^k\frac{k}{3^k}(x-2)^k=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\cdot(x-2)^k\quad;\quad a_k\coloneqq\frac{k}{(-3)^k}$$erhalten wir als den Konvergenzradius$$r_2=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\frac{k}{(-3)^k}}{\frac{k+1}{(-3)^{k+1}}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{k}{(-3)^k}\frac{(-3)^{k+1}}{k+1}\right|=3\lim\limits_{k\to\infty}\frac{k}{k+1}$$$$\phantom{r_2}=3\lim\limits_{k\to\infty}\left(1-\frac{1}{k+1}\right)=3$$
Die Reihe konvergiert daher für$$|x-2|<|r_2|=3\implies-3<x-2<3\stackrel{+2}{\implies}-1<x<5\implies x\in(-1;5)$$
In den Randpunkten \(x=-1\) und \(x=5\) soll die Konvergenz noch untersucht werden:$$S_2(-1)=\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^k\frac{k}{3^k}(-3)^k=\sum\limits_{k=1}^\infty k\to\infty$$$$S_2(5)=\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^k\frac{k}{3^k}3^k=\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^kk\to\text{divergiert}$$
An den Rändern des Intervalls liegt also keine Konvergenz vor.
