Aloha :)
Wenn eine Funktion \(f=f(x;y)\) von zwei Variablen abhängt, kann man eine der Variablen festhalten (hier in der Aufgabe wird \(x\) festgehalten) und nur die andere Variable ändern (hier wird \(y\) geändert). Da man nicht alle Variablen ändert, spricht man in einem solchen Fall von der partiellen Elastizität:$$E_{\Delta y}(f)=\frac{\text{relative Ändeurng des Funktionswertes}}{\text{relative Änderung der Varibalen}}=\frac{\frac{\Delta f(x;y)}{f(x;y)}}{\frac{\Delta y}{y}}$$$$\phantom{E_{\Delta y}(f)}=\frac{\Delta f(x;y)}{\Delta y}\cdot\frac{y}{f(x;y)}=\frac{f(x;y+\Delta y)-f(x;y)}{\Delta y}\cdot\frac{y}{f(x;y)}$$
Wenn wir die Änderung \(\;\Delta y\to0\;\) sehr klein machen, geht der erste Bruch in den Differentialquotienten für die partielle Ableitung über:$$\pink{\varepsilon_y(f)}=\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{f(x;y+\Delta y)-f(x;y)}{\Delta y}\cdot\frac{y}{f(x;y)}=\pink{\frac{\partial f(x;y)}{\partial y}\cdot\frac{y}{f(x;y)}}$$
Wir müssen also die gegebene Funktion$$f(x;y)=6x^6\cos(y^7)$$partiell nach \(y\) ableiten. Dabei hilft uns die Kettenregel:$$\frac{\partial f(x;y)}{\partial y}=6x^6\cdot\underbrace{\left(-\sin(y^7)\right)}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{7y^6}_{\text{innere Abl.}}=-42x^6y^6\sin(y^7)$$
Nun können wir alles in die Formel von oben einsetzen:$$\varepsilon_y(f)=-42x^6y^6\sin(y^7)\cdot\frac{y}{6x^6\cos(y^7)}=-7y^7\frac{\sin(y^7)}{\cos(y^7)}=-7y^7\tan(y^7)$$Da im Ergebnis die Variable \(x\) gar nicht mehr auftaucht, brauchen wir nur \(\;y=-3,75\;\) einzusetzen:$$\varepsilon_y(f)=-7\cdot(-3,75)^7\cdot\tan((-3,75)^7)\approx-825.847,54442\ldots$$
Achte darauf, den Tangens im Bogenmaß zu berechnen.
