Aloha :)
Es reicht hier, das Integral mit den gängigen Mitteln der Integralrechnung zu bestimmen. Wenn dies möglich ist, hast du automatisch auch die Integrierbarkeit gezeigt, denn du hast das Integral ja berechnet.
$$h(x)=(x+2)\cdot\operatorname{sign}(x)=\left\{\begin{array}{rl}x+2 & \text{für }x\ge0\\-(x+2) & \text{für }x<0\end{array}\right.\quad;\quad x\in[-2;2]$$
~plot~ (x+2)*((x>=0)-(x<0)) ; [[-3|3|-3|5]] ~plot~
Das Integral sieht so aus:$$I=\int\limits_{-2}^2h(x)\,dx=\int\limits_{-2}^0-(x+2)\,dx+\int\limits_0^2(x+2)\,dx=-\left[\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-2}^0+\left[\frac{x^2}{2}+2x\right]_0^2$$$$\phantom I=\left(0+\frac{(-2)^2}{2}+2\cdot(-2)\right)+\left(\frac{2^2}{2}+2\cdot2-0\right)=(-2)+6=4$$
Wenn du gerne was zur Integrierbarkeit schreiben möchtest, kannst du darauf verweisen, dass stückweise stetige Funktionen integrierbar sind.
