Zeigen \bar{m} ∈ ℤ_{n} ist genau dann eine Einheit in diesem Ring, wenn m und n teilerfremd sind.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( n \in \mathbb{N}, n \neq 0 \).
(a) Zeigen Sie: Ein Element \( \bar{m} \in \mathbb{Z}_{n} \) ist genau dann eine Einheit in diesem Ring, wenn \( m \) und \( n \) teilerfremd sind.
(Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden; sind \( m \) und \( n \) teilerfremd, so ist \( m \mathbb{Z}+n \mathbb{Z}=\mathbb{Z} \) ).

Problem/Ansatz:

Ich stehe komplett auf dem Schlauch. Selbst der Hinweis hilft mir nicht weiter.

Comments

m und n teilefremd -> a*m+b*n=1 -> am = -bn + 1 also ist am = [1] und damit m eine Einheit in Z_n

---

Ok, danke auf alle Fälle. Das ist einfach die Bézouts Identität oder? Kannst du mir auch noch verraten, wie ich davon darauf schließen kann dass der Ring Z/Z_n ein Körper ist wenn m eine Primzahl ist?

---

Bedenke:  Ein Ring ist genau dann ein Körper, wenn

alle Elemente außer 0 Einheiten sind.