Mit widerspruchsbeweis zeigen das h und k Parallel sind

Question

(a) Für $g, h, k \in \mathbb{G}$ mit $g \perp h$ und $h \perp k$ gilt: $\quad g \| k$ Zwei Senkrechten zu derselben Geraden sind parallel zueinander.
Hinweis: Führen Sie einen Widerspruchsbeweis. Nutzen Sie die Eindeutigkeit der Lotgeraden.

Eindeutigkeit der Lotgeraden :

Für alle $g \in \mathbb{G}$ und alle $P \in \mathbb{P}$ existiert genau eine Gerade $h \in \mathbb{G}$ mit $h \perp g$ und $P \in h$. Im Fall $P \notin g$ gilt dabei $h=P S_{g}(P)$.

Von einem Punkt außerhalb von $g$ kann man das Lot von $P$ auf $g$ fällen. Von einem Punkt auf $g$ kann man das Lot in $P$ auf $g$ errichten.

Man nennt die Gerade $h$ die Lotgerade von bzw. in $P$ zu bzw. auf $g$.

Im Hinweis steht das ich mit einem Widerspruchsbeweis beweisen soll, bedeutet das das ich zeigen möchte das h und k nicht parallel sind also g ∩ k ≠ ∅ oder verpeile ich gerade irgendetwas ?

Answer 1

Vielleicht so:

Seien  $g, h, k \in \mathbb{G}$ mit $g \perp h$ und $h \perp k$

1. Fall g=k ==>  Es gilt: $\quad g \| k$

2. Fall g≠k. Angenommen es gelte nicht $\quad g \| k$

==>   $\exists P \in \mathbb{P}$    mit $\{P\} = g∩k$.

==>  P∈g und  P∈k . Wegen $g \perp h$ und $h \perp k$

ist g die Lotgerade von P auf h und es ist k die Lotgerade von P auf h.

Wegen der Eindeutigkeit also  g=k. Widerspruch !

Comments

Vielen Dank ! du rettest mir gerade die Übung Morgen.