Multiplikative Gruppe isomorph zu additiver Gruppe

Question

Aufgabe:

Bezeichne mit $\mathbb{G}_{a}(\mathbb{R})$ bzw. mit $\mathbb{G}_{m}(\mathbb{R})$ die additive bzw. multiplikative Gruppe des Körpers der reellen Zahlen. Zeige, dass $\mathbb{G}_{m}(\mathbb{R})$ isomorph zu $\mathbb{G}_{a}(\mathbb{R}) \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ ist.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher, ob ich diese Aufgabe so richtig gelöst habe (insbesondere ob ich mein Φ richtig definiert habe)!

Die multiplikative Gruppe $\mathbb{G}_{m}(\mathbb{R})$ der reellen Zahlen ohne Null besteht aus den Elementen $x \in$ $\mathbb{R}$, für die $x \neq 0$. Die additive Gruppe $\mathbb{G}_{a}(\mathbb{R})$ der reellen Zahlen ist einfach die Gruppe $(\mathbb{R},+)$.

Um zu zeigen, dass $\mathbb{G}_{m}(\mathbb{R})$ isomorph zu $\mathbb{G}_{a}(\mathbb{R}) \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ ist, definieret man die Abbildung $\phi$ : $\mathbb{G}_{m}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{G}_{a}(\mathbb{R}) \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ wie folgt:

Sei $x \in \mathbb{G}_{m}(\mathbb{R})$. Man definiert $\phi(x)=(\ln |x|, \operatorname{sgn}(x))$, wobei $\ln |x|$ der natürliche Logarithmus des Betrags von $x$ ist und $\operatorname{sgn}(x)$ das Vorzeichen von $x$ ist (positive Zahl $x$ ergibt 1 und negative Zahl $x$ ergibt -1 ).

Beweis der Bijektivität:

Injektivität:
Angenommen, $\phi(x)=\phi(y)$ für $x, y \in \mathbb{G}_{m}(\mathbb{R})$. Das bedeutet, dass $(\ln |x|, \operatorname{sgn}(x))=$ $(\ln |y|, \operatorname{sgn}(y))$.

Daraus folgt, dass $\ln |x|=\ln |y|$ und $\operatorname{sgn}(x)=\operatorname{sgn}(y)$. Da der natürliche Logarithmus eine injektive Funktion ist und das Vorzeichen die Eindeutigkeit beibehält, muss $x=y$. Somit ist $\phi$ injektiv.

Surjektivität:
$\operatorname{Sei}(a, b) \in \mathbb{G}_{a}(\mathbb{R}) \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$. Wir wollen ein $x \in \mathbb{G}_{m}(\mathbb{R})$ finden, so dass $\phi(x)=(a, b)$.

Setzt man $x=\operatorname{sgn}(a) \cdot e^{a}$, dann ergibt sich $\phi(x)=\left(\ln \left|e^{a}\right|, \operatorname{sgn}(x)\right)=(a, \operatorname{sgn}(a))=$ $(a, b)$. Daher ist $\phi$ surjektiv.


Da $\phi$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist $\phi$ bijektiv. Somit ist $\mathbb{G}_{m}(\mathbb{R})$ isomorph zu $\mathbb{G}_{a}(\mathbb{R}) \times$ $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$.

Comments

Gehört zum Begriff "isomorph" nicht auch die Verträglichkeit mit den Gruppenoperationen?

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@Mathhilf: Bei mir ist das wie folgt definiert:

Gruppenhomomorphismen: Seien $(G, \circ)$ und $\left(G^{\prime}, \circ^{\prime}\right)$ zwei Gruppen. Dann heißt eine Abbildung $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Gruppen, oder (Gruppen-)Homomorphismus, falls
(H) $\forall g_{1}, g_{2} \in G: \varphi\left(g_{1} \circ g_{2}\right)=\varphi\left(g_{1}\right) \circ^{\prime} \varphi\left(g_{2}\right)$ - (Homomorphiebedingung)

Ein Homomorphismus $\varphi$ heißt:
- Monomorphismus (Mono) falls $\varphi$ injektiv ist,
- Epimorphismus (Epi) falls $\varphi$ surjektiv ist,
- Endomorpismus (Endo) falls $G=G^{\prime}, \circ=\circ^{\prime}$,
- Isomorphismus (Iso) falls $\varphi \mathrm{Mono}+\mathrm{Epi}$,
- Automorphismus (Auto) falls $\varphi$ Mono+Epi+Endo (=Endo+Iso).

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Und die Homomorphiebedingung hast Du nicht geprüft - oder?

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@Mathhilf: Habe ich jetzt nicht direkt gemacht, aber ist es nicht so, dass aus meinem Beweis für den Isomorphismus folgt, dass die Multiplikation der Vorzeichen das Vorzeichen des Produkts bestimmt, was eine grundlegende Eigenschaft der Signum-Funktion ist, woraus dann folgt, dass die Homomorphiebedingung erfüllt ist?

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Klar. Und der ln sorgt dafür, dass die Multiplikation in eine Addition überführt wird. Erst diese Funktionalität motiviert doch die komplizierte Wahl der Abbildung.

Aber wenn das alles klar ist ok

Answer 1

Das sieht doch alles sehr gut aus. Allerdings ist in ℤ2 ja -1=1 ,

also wäre sgn(y) immer 1. Da muss du wohl deine Def. etwas abändern,

etwa so $\phi(x)=(\ln |x|, \operatorname{sgn}(1+\operatorname{sgn}x))$

Dann hast du für positive x eine 1 und wegen sgn(0)=0 für negative x eine 0.

Comments

@ mathef: Danke dir für die Korrektur bzgl. meinem Φ.