Warum ist das dann für alle x gültig?

Question

Wie kann ich zeigen das das hier gilt?. Ich weiß schon das es gilt für x = 1.

\( e^{x}=\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \)

Warum ist das dann für alle x gültig?
Besten Dank für eine Erklärung.

Comments

Wie ist denn \(e^x\) bei dir definiert?

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Da fehlt wohl ein Limes?

s. z.B.

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Motivation

Answer 1

Schreibe \((1+\frac{x}{n})^n=(1+\frac{1}{\frac{n}{x}})^n=\left((1+\frac{1}{\frac{n}{x}})^{\frac{n}{x}}\right)^x\). Der innere Ausdruck konvergiert bekanntlich gegen \(\mathrm {e}\).