Folgen mit Epsilon usw.

Question

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Aufgabe 1:
Gegeben sei die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{n}=\frac{9 n+4}{7 n+4} \) sowie \( \varepsilon=\frac{1}{1000} \). Geben Sie die kleinste natürliche Zahl \( n_{\varepsilon} \) an, für die gilt
\( \left|a_{n}-\frac{9}{7}\right|<\varepsilon \)
für alle \( n>n_{\varepsilon} \).
\( n_{\varepsilon}= \)

Hallo ich muss diese Aufgabe lösen, doch ich weiß nicht wie.
Würde mich über Eure Hilfe freuen.

Answer 1

\( a_{n}=\frac{9 n+4}{7 n+4} \) sowie \( \varepsilon=\frac{1}{1000} \) in  \( \left|a_{n}-\frac{9}{7}\right|<\varepsilon \) einsetzen und nach n auflösen. Da n>0 können die Betragsstriche fortfallen. Ergebnis n>162.6938775. Das kleinste n ist also 163.