Beweis mit Cauchyprodukt

Question

Aufgabe: Kann mir jemand sagen, ob diese Rechnung so stimmt? Und wenn nicht, wie ich es machen muss.

2. Aufgabe

Zeigen Sie: \( \sum \limits_{n=0}^{\infty}(n+1) x^{n}=\frac{1}{(1-x)^{2}} \) für alle \( x \in(-1,1) \).
Hinweis: Verwenden Sie das Cauchyprodukt.

Problem/Ansatz:

1. **Gegebene Reihen:**

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x} \quad \text{(geometrische Reihe)}$$

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n} = \frac{1}{(1-x)^{2}} \quad \text{(bekannte Ableitung der geometrischen Reihe)}$$

2. **Cauchyprodukt:**
$$\sum \limits_{n=0}^{\infty} x^{n} \cdot \frac{1}{(1-x)^{2}}= \left(\frac{1}{1-x}\right) \cdot \left(\frac{1}{(1-x)^{2}}\right)= \frac{1}{(1-x)(1-x)^{2}}= \frac{1}{(1-x)^{3}}$$

3. **Schlussfolgerung:**
$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(n+1) x^{n} = \frac{1}{(1-x)^{2}} \quad \text{für alle } x \in (-1,1)$$
  

Answer 1

Aloha :)

Gemäß der Summenformel für die geometrische Reihe ist$$\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}\quad;\quad|x|<1$$

Daher gilt mit dem Cauchy-Produkt:$$\frac{1}{(1-x)^2}=\sum\limits_{i=0}^\infty x^i\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{i+k=n}x^i\cdot x^k=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{i=0}^nx^i\cdot x^{n-i}$$$$\phantom{\frac{1}{(1-x)^2}}=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{i=0}^nx^n=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n\sum\limits_{i=0}^n1=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n(n+1)$$

Answer 2

Hallo

mit der Ableitung der Reihe hast du recht

wie man das Cauchyprodukt da verwenden soll sehe ich nicht, vielleicht gilt das nur für einen anderen Aufgabenteil, oder du nimmst einfach das Quadrat der geometrischen Reihe.

was du mit dem Cauchprodukt machst sehe ich nicht?

lul

Answer 3

Verwende die Cauchyproduktformel für \(\sum\limits_{n=0}^\infty x^n \cdot \sum\limits_{n=0}^\infty x^n\), dann steht das Ergebnis sehr schnell da.