Beweis: lim x_n=a => lim x_n^2=a^2

Question

Text erkannt:

(a) Zeigen Sie anhand der Definition von Folgenkonvergenz: Sei \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \). Dann gilt auch \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}^{2}=a^{2} \).
(b) Gilt auch die Umkehrung in (a)?
Also wenn für eine Folge \( \left(x_{n}\right) \) der Grenzwert \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}^{2}=a^{2} \) ist, folgt dann auch \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a ? \)

Man soll ja (wenn ich das richtig verstehe) zeigen, dass |x_n - a|<ε => |x_n^2 - a^2|<ε .

Ich finde jetzt aber keinen Ansatz wie ich das angehen kann bzw. zeigen kann…

Comments

Das wird im Allgemeinen nicht klappen. Schau Dir nochmal die Definitionen an und überlege, was genau zu zeigen ist.

Answer 1

Du willst zeigen :

Zu jedem ε>0 gibt es ein N so,

dass für alle n∈ℕ gilt   n>N   ==>     \( |a_n^2 - a^2| \lt \epsilon\)

Betrachte dazu    \( |a_n^2 - a^2| \lt \epsilon\)

            <=> \( |(a_n - a)(a_n+a)| \lt \epsilon\)

Den 1. Faktor bekommst du ja immer kleiner als ε und der Betrag des

2. Faktors ist von einem gewissen n an immer kleiner als etwa 2|a|+1,

(vorsichtshalber so gewählt falls a=0 ).

Dann musst du nur bei der Grenzwertdef. für \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \)

sagen: Mit ε>0 gilt auch ε:(2|a|+1) > 0 , also gibt es ein M∈ℕ mit

            für alle n∈ℕ gilt n>M   ==>    \( |a_n - a| \lt \frac{\epsilon}{2|a|+1} \lt \frac{\epsilon}{|a_n+a|} \)

==>   \( |(a_n - a)(a_n+a)| \lt \epsilon\)   q.e.d.

b) Setze mal a=1 und probiere es mit einer Folge mit Grenzwert -1.